Notação: Usando uma parametrização
para uma superfície
, o elemento de área é
Os vetores
e
são normais à superfície. Muitas vezes usa-se
ao invés de
como parâmetros genéricos da parametrização da superfície.
Seja a parametrização de um cone
onde
é constante,
e
. Aqui os dois parâmetros
são
.
(a) Calcule os vetores tangentes
Seja a parametrização de um cone
(a) Calcule os vetores tangentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular os vetores tangentes $ \mathbf{T}t $ e $ \mathbf{T}{\theta} $ de um cone parametrizado pela função $ \boldsymbol{\Phi}(t, \theta) = (\alpha t \cos \theta, \alpha t \sin \theta, t) $, onde $ \alpha $ é uma constante, $ t $ varia de 0 a $ h $ e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $. A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais de funções vetoriais para encontrar vetores tangentes a superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são esses vetores tangentes. Quando temos uma parametrização de uma superfície, como o cone dado, os vetores tangentes $ \mathbf{T}t $ e $ \mathbf{T}{\theta} $ são as derivadas parciais da função $ \boldsymbol{\Phi} $ em relação a cada parâmetro. Eles nos mostram a direção em que a superfície está se movendo quando cada parâmetro varia, mantendo o outro fixo.
Passo 3
Vamos calcular $ \mathbf{T}t $ e $ \mathbf{T}{\theta} $ passo a passo.
Primeiro, calculemos $ \mathbf{T}_t $, que é a derivada parcial de $ \boldsymbol{\Phi} $ em relação a $ t $:
Calculando cada componente:
Então:
Agora, vamos calcular $ \mathbf{T}_{\theta} $, que é a derivada parcial de $ \boldsymbol{\Phi} $ em relação a $ \theta $:
Calculando cada componente:
Então:
Resposta
Os vetores tangentes são: