Notação: Usando uma parametrização r=(x, y, z)=Phi(t1, t2) para uma superfície S, o elemento de área é
Os vetores d S & =n d S=N(t1, t2) d t1 d t2, n=N /|N| d S & =|N| d t1 d t2 N & =Tt1 times Tt2, Tt1 equiv partial Phipartial t1, Tt2 equiv partial Phipartial t2 e n são normais à superfície. Muitas vezes usa-se N ao invés de (u, v) como parâmetros genéricos da parametrização da superfície.
Seja a parametrização de um cone
(t1, t2)
onde Phi(t, theta)=(alpha t cos theta, alpha t sen theta, t) é constante, alpha e t in[0, h]. Aqui os dois parâmetros theta in[0,2 pi] são (t1, t2).
(a) Calcule os vetores tangentes
(t, theta)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular os vetores tangentes $ \mathbf{T}t $ e $ \mathbf{T}{\theta} $ de um cone parametrizado pela função $ \boldsymbol{\Phi}(t, \theta) = (\alpha t \cos \theta, \alpha t \sin \theta, t) $, onde $ \alpha $ é uma constante, $ t $ varia de 0 a $ h $ e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $. A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente derivadas parciais de funções vetoriais para encontrar vetores tangentes a superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são esses vetores tangentes. Quando temos uma parametrização de uma superfície, como o cone dado, os vetores tangentes $ \mathbf{T}t $ e $ \mathbf{T}{\theta} $ são as derivadas parciais da função $ \boldsymbol{\Phi} $ em relação a cada parâmetro. Eles nos mostram a direção em que a superfície está se movendo quando cada parâmetro varia, mantendo o outro fixo.

Passo 3

Vamos calcular $ \mathbf{T}t $ e $ \mathbf{T}{\theta} $ passo a passo.
Primeiro, calculemos $ \mathbf{T}_t $, que é a derivada parcial de $ \boldsymbol{\Phi} $ em relação a $ t $:
Tt
Calculando cada componente:
Ttheta
Tt
Phi
Então:
t
Agora, vamos calcular $ \mathbf{T}_{\theta} $, que é a derivada parcial de $ \boldsymbol{\Phi} $ em relação a $ \theta $:
Tt = partial Phi(t, theta)partial t = ( partialpartial t(alpha t cos theta), partialpartial t(alpha t sin theta), partialpartial t(t) )
Calculando cada componente:
partialpartial t(alpha t cos theta) = alpha cos theta
partialpartial t(alpha t sin theta) = alpha sin theta
partialpartial t(t) = 1
Então:
Tt = (alpha cos theta, alpha sin theta, 1)

Resposta

Os vetores tangentes são:
Tt = (alpha cos theta, alpha sin theta, 1)
Ttheta = (-alpha t sin theta, alpha t cos theta, 0)

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