1. As notas dos 20 alunos de Engenharia Elétrica, na disciplina de Probabilidade e Estatística, foram:
6,0 7,0 4,0 8,0 3,0 9,0 5,0 6,0 7,0 4,0
4,0 7,0 8,0 6,0 5,0 6,0 4,0 5,0 6,0 3,0
Com base nesses dados, determinar:
a) A nota média.
b) A amplitude máxima.
c) O desvio médio.
d) A variância.
e) O desvio padrão.
f) O coeficiente de variação.

Passo 1

O enunciado dá as notas dos 20 alunos (lista de valores) e pede que calculemos, a partir desses dados:
a) a nota média;
b) a amplitude máxima;
c) o desvio médio (média das desvios absolutos em relação à média);
d) a variância;
e) o desvio padrão;
f) o coeficiente de variação.
Os dados fornecidos (copiados do enunciado) são, em ordem:
6,0,\;7,0,\;4,0,\;8,0,\;3,0,\;9,0,\;5,0,\;6,0,\;7,0,\;4,0,
4,0,\;7,0,\;8,0,\;6,0,\;5,0,\;6,0,\;4,0,\;5,0,\;6,0,\;3,0.
Soma total de observações: n=20.

Passo 2

Organizar os dados por frequência facilita os cálculos (eu fiz a contagem olhando os valores acima):
\begin{array}{c|c} \text{Nota }x & \text{Frequência }f\\hline 3,0 & 2\\\\ 4,0 & 4\\\\ 5,0 & 3\\\\ 6,0 & 5\\\\ 7,0 & 3\\\\ 8,0 & 2\\\\ 9,0 & 1 \end{array}ê
Verificação rápida: 2+4+3+5+3+2+1=20 (confere).
Também calculei a soma dos valores e a soma dos quadrados (úteis depois):
\sum x = 3\cdot2 + 4\cdot4 + 5\cdot3 + 6\cdot5 + 7\cdot3 + 8\cdot2 + 9\cdot1 = 113,
\sum x^{2} = 3^{2}\cdot2 + 4^{2}\cdot4 + 5^{2}\cdot3 + 6^{2}\cdot5 + 7^{2}\cdot3 + 8^{2}\cdot2 + 9^{2}\cdot1 = 693.

Passo 3

Calcular a média aritmética (nota média).
Fórmula da média (para um conjunto de n observações x_i):
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui já temos \sum x = 113 e n=20, então
\bar{x} = \frac{113}{20} = 5,65.
Interpretação: em média, os alunos tiraram 5,65.

Passo 4

Calcular a amplitude máxima (range).
Definição: amplitude máxima = \max(x_i)-\min(x_i).
Dos dados, \max = 9,0 e \min = 3,0, logo
\text{Amplitude} = 9,0-3,0 = 6,0.

Passo 5

Calcular o desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média).
Fórmula do desvio médio (para população):
\text{DM} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i-\bar{x}|.
Usando a tabela de frequências, computamos os termos |x-\bar{x}|\cdot f:
\begin{array}{c|c|c} x & |x-\bar{x}| & f\cdot |x-\bar{x}| \\hline 3,0 & |3,0-5,65|=2,65 & 2\cdot2,65=5,30\\\\ 4,0 & |4,0-5,65|=1,65 & 4\cdot1,65=6,60\\\\ 5,0 & |5,0-5,65|=0,65 & 3\cdot0,65=1,95\\\\ 6,0 & |6,0-5,65|=0,35 & 5\cdot0,35=1,75\\\\ 7,0 & |7,0-5,65|=1,35 & 3\cdot1,35=4,05\\\\ 8,0 & |8,0-5,65|=2,35 & 2\cdot2,35=4,70\\\\ 9,0 & |9,0-5,65|=3,35 & 1\cdot3,35=3,35 \end{array}
Somando os f\cdot |x-\bar{x}|: 5,30+6,60+1,95+1,75+4,05+4,70+3,35 = 27,70.
Portanto
\text{DM} = \frac{27,70}{20} = 1,385.
Explicação breve: o desvio médio mede, em média, o quanto as notas se afastam da média, em valor absoluto (não cancela positivo/negativo).

Passo 6

Calcular a variância. Vou usar a definição de variância populacional (porque temos todas as 20 notas do grupo):
Fórmula (populacional):
\sigma^{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Uma forma prática usando somatórios já calculados:
\sigma^{2} = \frac{1}{n}\sum x^{2} - \bar{x}^{2}.
Temos \sum x^{2}=693, n=20 e \bar{x}=\dfrac{113}{20}. Então
\frac{1}{n}\sum x^{2} = \frac{693}{20} = 34,65,
\bar{x}^{2} = \left(\frac{113}{20}\right)^{2} = \frac{12769}{400} = 31,9225.
Subtraindo:
\sigma^{2} = 34,65 - 31,9225 = 2,7275.
Observação: se fosse pedido a variância amostral (para estimar a variância da população a partir de uma amostra), usar-se-ia divisão por n-1. Aqui interpretamos os 20 alunos como o conjunto completo, então dividimos por n.

Passo 7

Calcular o desvio padrão.
Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}.
Temos \sigma^{2}=2,7275, então
\sigma = \sqrt{2,7275}\approx 1,6515.
(Exatidão: \sigma = \dfrac{\sqrt{1091}}{20}\approx 1,651515.)
Interpretação: em média, uma nota típica se afasta da média por cerca de 1,65 pontos.

Passo 8

Calcular o coeficiente de variação (CV).
Definição: o coeficiente de variação mede a dispersão relativa e é dado por
\text{CV} = \frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Usando \sigma\approx 1,6515 e \bar{x}=5,65:
\text{CV} = \frac{1,651515\ldots}{5,65}\times 100\% \approx 29,23\%.
Interpretação: o desvio padrão é cerca de 29{,}2\% da média — é uma medida de dispersão relativa que facilita comparações entre conjuntos com médias diferentes.

Passo 9

Resumo rápido do que fizemos (dica para prova): organizar por frequências e calcular \sum x e \sum x^{2} torna média, variância e desvio padrão rápidos de obter; o desvio médio exige somar desvios absolutos mas também se facilita com a tabela de frequências.

Resposta

a) \bar{x}=5,65
b) \text{Amplitude}=6,0
c) \text{Desvio médio}=1,385é
d) \sigma^{2}=2,7275
e) \sigma\approx1,6515
f) \text{CV}\approx29,23\%

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