- As notas dos 20 alunos de Engenharia Elétrica, na disciplina de Probabilidade e Estatística, foram:
6,0
7,0
4,0
8,0
3,0
9,0
5,0
6,0
7,0
4,0
4,0
7,0
8,0
6,0
5,0
6,0
4,0
5,0
6,0
3,0
Com base nesses dados, determinar:
a) A nota média.
b) A amplitude máxima.
c) O desvio médio.
d) A variância.
e) O desvio padrão.
f) O coeficiente de variação.
| 6,0 | 7,0 | 4,0 | 8,0 | 3,0 | 9,0 | 5,0 | 6,0 | 7,0 | 4,0 |
| 4,0 | 7,0 | 8,0 | 6,0 | 5,0 | 6,0 | 4,0 | 5,0 | 6,0 | 3,0 |
a) A nota média.
b) A amplitude máxima.
c) O desvio médio.
d) A variância.
e) O desvio padrão.
f) O coeficiente de variação.
Passo 1
O enunciado dá as notas dos
alunos (lista de valores) e pede que calculemos, a partir desses dados:
a) a nota média;
b) a amplitude máxima;
c) o desvio médio (média das desvios absolutos em relação à média);
d) a variância;
e) o desvio padrão;
f) o coeficiente de variação.
a) a nota média;
b) a amplitude máxima;
c) o desvio médio (média das desvios absolutos em relação à média);
d) a variância;
e) o desvio padrão;
f) o coeficiente de variação.
Os dados fornecidos (copiados do enunciado) são, em ordem:
Soma total de observações:
.
Passo 2
Organizar os dados por frequência facilita os cálculos (eu fiz a contagem olhando os valores acima):
Verificação rápida:
(confere).
Também calculei a soma dos valores e a soma dos quadrados (úteis depois):
Passo 3
Calcular a média aritmética (nota média).
Fórmula da média (para um conjunto de observações
):
Fórmula da média (para um conjunto de
Aqui já temos
e
, então
Interpretação: em média, os alunos tiraram
.
Passo 4
Calcular a amplitude máxima (range).
Definição: amplitude máxima .
Dos dados, e
, logo
Definição: amplitude máxima
Dos dados,
Passo 5
Calcular o desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média).
Fórmula do desvio médio (para população):
Fórmula do desvio médio (para população):
Usando a tabela de frequências, computamos os termos
:
Somando os
:
.
Portanto
Explicação breve: o desvio médio mede, em média, o quanto as notas se afastam da média, em valor absoluto (não cancela positivo/negativo).
Passo 6
Calcular a variância. Vou usar a definição de variância populacional (porque temos todas as
notas do grupo):
Fórmula (populacional):
Fórmula (populacional):
Uma forma prática usando somatórios já calculados:
Temos
,
e
. Então
Subtraindo:
Observação: se fosse pedido a variância amostral (para estimar a variância da população a partir de uma amostra), usar-se-ia divisão por
. Aqui interpretamos os 20 alunos como o conjunto completo, então dividimos por
.
Passo 7
Calcular o desvio padrão.
Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Temos
, então
(Exatidão:
.)
Interpretação: em média, uma nota típica se afasta da média por cerca de
pontos.
Passo 8
Calcular o coeficiente de variação (CV).
Definição: o coeficiente de variação mede a dispersão relativa e é dado por
Definição: o coeficiente de variação mede a dispersão relativa e é dado por
Usando
e
:
Interpretação: o desvio padrão é cerca de
da média — é uma medida de dispersão relativa que facilita comparações entre conjuntos com médias diferentes.
Passo 9
Resumo rápido do que fizemos (dica para prova): organizar por frequências e calcular
e
torna média, variância e desvio padrão rápidos de obter; o desvio médio exige somar desvios absolutos mas também se facilita com a tabela de frequências.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
b)
c)
d)
e)
f)