1. Um grupo de alunos, 10 casais de namorados, estudava na mesma instituição. Ao final da prova de Matemática, as notas que obtiveram na avaliação foram registradas na tabela abaixo.
Notas de Matemática
Rapazes Moças
8,2 6,0
7,6 5,7
6,8 7,2
6,5 5,0
8,9 6,3
6,0 5,6
8,1 5,9
6,2 5,5
7,9 6,5
6,5 6,6
Com base nos resultados, pede-se:
a) O cálculo do desvio padrão das notas obtidas pelos rapazes e pelas moças;
b) A variância para as notas de Matemática para ambos os sexos;
c) Avalie se ocorreu maior dispersão para os rapazes ou para as moças, com base no coeficiente de variação.

Passo 1

O enunciado dá as notas de Matemática de 10 rapazes e 10 moças (cada linha da tabela corresponde a um casal). As notas são, retiradas da tabela:
Rapazes: 8,2;\;7,6;\;6,8;\;6,5;\;8,9;\;6,0;\;8,1;\;6,2;\;7,9;\;6,5.
Moças: 6,0;\;5,7;\;7,2;\;5,0;\;6,3;\;5,6;\;5,9;\;5,5;\;6,5;\;6,6.
Perguntas pedidas:
a) Calcular o desvio padrão das notas dos rapazes e das moças.
b) Calcular a variância das notas para ambos os sexos.
c) Avaliar qual grupo apresentou maior dispersão usando o coeficiente de variação.

Passo 2

Decisão do método e fórmulas: como temos todas as notas do grupo (os 10 rapazes e as 10 moças), vou tratar os dados como a população completa e usar as fórmulas de variância e desvio padrão populacionais. Se estivéssemos trabalhando com uma amostra para estimar uma população maior, usaríamos o divisor n-1, mas aqui usaremos n.
Fórmulas que usaremos (explicando cada símbolo):
  • Média aritmética: \displaystyle \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i, onde x_i são as observações e n é o número de observações.
  • Variância populacional: \displaystyle \sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}. Aqui \sigma^{2} mede a média dos quadrados dos desvios em relação à média.
  • Desvio padrão populacional: \displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}. É a raiz quadrada da variância e retorna à unidade das observações.
  • Coeficiente de variação: \displaystyle CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%. Mede a dispersão relativa em relação à média (útil para comparar grupos com médias diferentes).
Vou calcular passo a passo: primeiro a média de cada grupo, depois os desvios ao quadrado, depois somo e divido por n para obter a variância, tomo raiz para o desvio padrão e finalmente o CV.

Passo 3

Cálculo para os rapazes — média:
Somando as notas (peguei os valores da tabela):
\sum x_{\text{rapazes}}=8,2+7,6+6,8+6,5+8,9+6,0+8,1+6,2+7,9+6,5=72,7.
Como n=10,
\bar{x}_{\text{rapazes}}=\frac{72,7}{10}=7,27.
Agora calculo os desvios ao quadrado (cada termo (x_i-\bar{x})^{2}; mostro cada um para você poder reproduzir na prova):
\begin{aligned} (8,2-7,27)^2 &= (0,93)^2 = 0,8649,\\\ (7,6-7,27)^2 &= (0,33)^2 = 0,1089,\\\ (6,8-7,27)^2 &= (-0,47)^2 = 0,2209,\\\ (6,5-7,27)^2 &= (-0,77)^2 = 0,5929,\\\ (8,9-7,27)^2 &= (1,63)^2 = 2,6569,\\\ (6,0-7,27)^2 &= (-1,27)^2 = 1,6129,\\\ (8,1-7,27)^2 &= (0,83)^2 = 0,6889,\\\ (6,2-7,27)^2 &= (-1,07)^2 = 1,1449,\\\ (7,9-7,27)^2 &= (0,63)^2 = 0,3969,\\\ (6,5-7,27)^2 &= (-0,77)^2 = 0,5929. \end{aligned}
Somando esses quadrados (mostrei acima cada termo extraído da tabela),
\sum (x_i-\bar{x})^{2}=8,881.
Variância populacional dos rapazes:
\sigma^{2}_{\text{rapazes}}=\frac{8,881}{10}=0,8881.
Desvio padrão populacional dos rapazes:
\sigma_{\text{rapazes}}=\sqrt{0,8881}\approx 0,9424.

Passo 4

Cálculo para as moças — média:
Somando as notas (peguei os valores da tabela):
\sum x_{\text{moças}}=6,0+5,7+7,2+5,0+6,3+5,6+5,9+5,5+6,5+6,6=60,3.ç
Como n=10,
\bar{x}_{\text{moças}}=\frac{60,3}{10}=6,03.ç
Desvios ao quadrado (cada termo (x_i-\bar{x})^{2}):
\begin{aligned} (6,0-6,03)^2 &= (-0,03)^2 = 0,0009,\\\ (5,7-6,03)^2 &= (-0,33)^2 = 0,1089,\\\ (7,2-6,03)^2 &= (1,17)^2 = 1,3689,\\\ (5,0-6,03)^2 &= (-1,03)^2 = 1,0609,\\\ (6,3-6,03)^2 &= (0,27)^2 = 0,0729,\\\ (5,6-6,03)^2 &= (-0,43)^2 = 0,1849,\\\ (5,9-6,03)^2 &= (-0,13)^2 = 0,0169,\\\ (5,5-6,03)^2 &= (-0,53)^2 = 0,2809,\\\ (6,5-6,03)^2 &= (0,47)^2 = 0,2209,\\\ (6,6-6,03)^2 &= (0,57)^2 = 0,3249. \end{aligned}
Somando esses quadrados,
\sum (x_i-\bar{x})^{2}=3,641.
Variância populacional das moças:
\sigma^{2}_{\text{moças}}=\frac{3,641}{10}=0,3641.ç
Desvio padrão populacional das moças:
\sigma_{\text{moças}}=\sqrt{0,3641}\approx 0,6034.ç

Passo 5

Cálculo do coeficiente de variação e comparação:
Fórmula: \displaystyle CV=\frac{\sigma}{\bar{x}}\times 100\%.
Para os rapazes:
CV_{\text{rapazes}}=\frac{0,9424}{7,27}\times 100\%\approx 12,96\%.
Para as moças:
CV_{\text{moças}}=\frac{0,6034}{6,03}\times 100\%\approx 10,01\%.ç
Interpretação final: o coeficiente de variação dos rapazes ( 12,96\%) é maior que o das moças ( 10,01\%), portanto, em termos relativos (ou seja, considerando a dispersão em relação à média), houve maior dispersão nas notas dos rapazes.
Força aí — você já tem todos os passos detalhados para refazer isso na prova: calcular média, somar os quadrados dos desvios, dividir por n (ou por n-1 se for amostra), extrair raiz para o desvio padrão e comparar com o CV.

Resposta

a) Desvio padrão: rapazes \;0,94 ; moças \;0,60.
b) Variância: rapazes \;0,8881 ; moças \;0,3641.
c) Coeficiente de variação: rapazes \;12,96\% ; moças \;10,01\%. Portanto, houve maior dispersão relativa entre os rapazes.

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