- Em um laboratório de alimentos, as análises realizadas com um novo produto deram origem a uma amostra com 20 ensaios:
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Calcule, para esse conjunto de dados:
a) a amplitude máxima;
b) a variância;
c) o desvio padrão;
d) o coeficiente de variação.
| 10 | 12 | 11 | 9 | 12 | 14 | 13 | 12 | 10 | 11 |
| 12 | 14 | 12 | 10 | 11 | 12 | 14 | 13 | 11 | 10 |
a) a amplitude máxima;
b) a variância;
c) o desvio padrão;
d) o coeficiente de variação.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra com
observações (resultados de ensaios). Ele pede quatro coisas para esse conjunto de dados:
a) a amplitude máxima;
b) a variância;
c) o desvio padrão;
d) o coeficiente de variação.
a) a amplitude máxima;
b) a variância;
c) o desvio padrão;
d) o coeficiente de variação.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são, em ordem:
Passo 2
Vamos organizar os dados por valores distintos e contar quantas vezes cada valor aparece (frequências). Isso facilita os cálculos de soma e soma dos quadrados.
Valores possíveis e suas frequências (contagem feita a partir da tabela):
Confirmei que
, ou seja, está tudo coerente com
.
Passo 3
Cálculo da amplitude máxima (range). Definição: amplitude máxima é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra.
Maior valor observado =
.
Menor valor observado = .
Menor valor observado =
Logo a amplitude máxima é
Passo 4
Vamos calcular a média amostral
. Definição: a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações:
Usando as frequências, a soma total
é
Como
,
Expliquei:
é o “centro” dos dados; é o valor que representa a média aritmética da amostra.
Passo 5
Para calcular a variância precisamos da soma dos quadrados
. Usando as frequências:
Observação importante (escolha do método): quando temos uma amostra (não toda a população) e queremos estimar a variabilidade da população a partir da amostra, usamos a variância amostral com denominador
. Essa é a prática padrão em cursos de estatística descritiva/inferencial porque corrige o viés da estimativa. Vou usar, portanto, a fórmula da variância amostral
:
Uma forma prática de calcular é usar
Passo 6
Calculemos
usando os valores que já temos:
Primeiro
. Então
Logo
Agora aplicamos a fórmula da variância amostral:
Arredondando de forma razoável (três casas decimais):
Expliquei: a variância mede a dispersão média dos quadrados das distâncias entre cada observação e a média. Como usamos
no denominador, estamos obtendo a estimativa amostral não viesada.
Passo 7
Cálculo do desvio padrão amostral
. Definição: desvio padrão é a raiz quadrada da variância; dá a dispersão na mesma unidade dos dados, o que é mais interpretável que a variância.
Arredondando para três casas decimais:
Comentário didático: enquanto a variância está em unidades ao quadrado (por exemplo, se as unidades são g, a variância está em g^2), o desvio padrão volta às unidades originais e é mais fácil de interpretar (a maioria dos valores está a cerca de
unidades da média).
Passo 8
Cálculo do coeficiente de variação (CV). Definição: o coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, geralmente expresso em porcentagem; serve para comparar variabilidade relativa entre conjuntos com médias diferentes:
Usando
e
,
Arredondando para duas casas decimais:
Resposta
a) Amplitude máxima:
b) Variância (amostral):
c) Desvio padrão (amostral):
d) Coeficiente de variação:
b) Variância (amostral):
c) Desvio padrão (amostral):
d) Coeficiente de variação: