1. Em um laboratório de alimentos, as análises realizadas com um novo produto deram origem a uma amostra com 20 ensaios:
10 12 11 9 12 14 13 12 10 11
12 14 12 10 11 12 14 13 11 10
Calcule, para esse conjunto de dados:
a) a amplitude máxima;
b) a variância;
c) o desvio padrão;
d) o coeficiente de variação.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra com 20 observações (resultados de ensaios). Ele pede quatro coisas para esse conjunto de dados:
a) a amplitude máxima;
b) a variância;
c) o desvio padrão;
d) o coeficiente de variação.
Os dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado) são, em ordem:
10,\;12,\;11,\;9,\;12,\;14,\;13,\;12,\;10,\;11,\;12,\;14,\;12,\;10,\;11,\;12,\;14,\;13,\;11,\;10.

Passo 2

Vamos organizar os dados por valores distintos e contar quantas vezes cada valor aparece (frequências). Isso facilita os cálculos de soma e soma dos quadrados.
Valores possíveis e suas frequências (contagem feita a partir da tabela):
\begin{array}{c|c} \text{Valor }x & \text{Frequência }f\\hline 9 & 1\\\\ 10 & 4\\\\ 11 & 4\\\\ 12 & 6\\\\ 13 & 2\\\\ 14 & 3 \end{array}ê
Confirmei que 1+4+4+6+2+3=20, ou seja, está tudo coerente com n=20.

Passo 3

Cálculo da amplitude máxima (range). Definição: amplitude máxima é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra.
Maior valor observado = 14.
Menor valor observado = 9.
Logo a amplitude máxima é
\text{amplitude} = 14-9 = 5.

Passo 4

Vamos calcular a média amostral \bar{x}. Definição: a média é a soma dos valores dividida pelo número de observações:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Usando as frequências, a soma total \sum x_i é
\sum x_i = 9\cdot1 + 10\cdot4 + 11\cdot4 + 12\cdot6 + 13\cdot2 + 14\cdot3 = 233.
Como n=20,
\bar{x}=\frac{233}{20}=11,65.
Expliquei: \bar{x} é o “centro” dos dados; é o valor que representa a média aritmética da amostra.

Passo 5

Para calcular a variância precisamos da soma dos quadrados \sum x_i^2. Usando as frequências:
\sum x_i^2 = 9^2\cdot1 + 10^2\cdot4 + 11^2\cdot4 + 12^2\cdot6 + 13^2\cdot2 + 14^2\cdot3 = 2755.
Observação importante (escolha do método): quando temos uma amostra (não toda a população) e queremos estimar a variabilidade da população a partir da amostra, usamos a variância amostral com denominador n-1. Essa é a prática padrão em cursos de estatística descritiva/inferencial porque corrige o viés da estimativa. Vou usar, portanto, a fórmula da variância amostral s^2:
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Uma forma prática de calcular é usar
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2.

Passo 6

Calculemos \sum (x_i-\bar{x})^2 usando os valores que já temos:
n\bar{x}^2 = 20\cdot(11,65)^2.
Primeiro (11,65)^2 = 135,7225. Então
n\bar{x}^2 = 20\cdot 135,7225 = 2714,45.
Logo
\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 2755 - 2714,45 = 40,55.
Agora aplicamos a fórmula da variância amostral:
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2 = \frac{40,55}{20-1} = \frac{40,55}{19} \approx 2,134210526.
Arredondando de forma razoável (três casas decimais):
s^2 \approx 2,134.
Expliquei: a variância mede a dispersão média dos quadrados das distâncias entre cada observação e a média. Como usamos n-1 no denominador, estamos obtendo a estimativa amostral não viesada.

Passo 7

Cálculo do desvio padrão amostral s. Definição: desvio padrão é a raiz quadrada da variância; dá a dispersão na mesma unidade dos dados, o que é mais interpretável que a variância.
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{2,134210526}\approx 1,4607.
Arredondando para três casas decimais:
s \approx 1,461.
Comentário didático: enquanto a variância está em unidades ao quadrado (por exemplo, se as unidades são g, a variância está em g^2), o desvio padrão volta às unidades originais e é mais fácil de interpretar (a maioria dos valores está a cerca de 1,46 unidades da média).

Passo 8

Cálculo do coeficiente de variação (CV). Definição: o coeficiente de variação é a razão entre o desvio padrão e a média, geralmente expresso em porcentagem; serve para comparar variabilidade relativa entre conjuntos com médias diferentes:
\text{CV} = \frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Usando s\approx 1,4607 e \bar{x}=11,65,
\text{CV} = \frac{1,4607}{11,65}\times 100\% \approx 12,54\%.
Arredondando para duas casas decimais:
\text{CV} \approx 12,54\%.

Resposta

a) Amplitude máxima: 5
b) Variância (amostral): 2,134
c) Desvio padrão (amostral): 1,461
d) Coeficiente de variação: 12,54\%

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