notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 5) Considere uma partícula confinada em um poço quadrado infinito de largura
Dentro da região do poço
. Encontre a expressão para
em termos de
e
. Sugestão: a equação de Schrödinger independente do tempo é
.
. Encontre a expressão para
Passo 1
O enunciado dá um poço infinito de largura
Dentro da região do poço
em termos de
,
e
". As informações relevantes que temos são: o potencial dentro do poço é
e a equação de Schrödinger independente do tempo que o professor deu como sugestão (vamos usá-la).
Passo 2
Escrevemos a equação de Schrödinger independente do tempo (essa é a fórmula que relaciona a energia da partícula com a derivada da função de onda):
Explicando cada símbolo:
-
é a função de onda (dependendo de ); -
é a massa da partícula; -
é a constante de Planck reduzida (unidades de ); -
é o potencial (aqui, dentro do poço ); -
é a energia total da partícula (autovalor que queremos relacionar ao comportamento da ).
Passo 3
Agora substituímos
(pois estamos dentro do poço,
) na equação de Schrödinger:
Manipulamos algebricamente para isolar a derivada segunda. Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 4
Comparando a igualdade obtida
com a forma dada no enunciado
vemos que os coeficientes do
devem ser iguais. Portanto identificamos
Passo 5
Extraímos
tomando a raiz quadrada (escolhemos a raiz positiva porque
é o número de onda — magnitude relacionada ao comprimento de onda):
Passo 6
Comentário físico e checagem rápida:
tem unidades de inverso de comprimento (
), pois
tem unidades de momento (
) e
tem unidades de
, resultando em
. Em problemas do poço infinito, as energias permitidas são quantizadas; por exemplo, para os níveis próprios
aqui
assume os valores
, o que é consistente com a expressão geral acima.