notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 5) Considere uma partícula confinada em um poço quadrado infinito de largura a\), cujo potencial é dado por \[V(x)= \begin{cases}0, & 0 \leq x \leq a \\\ \infty, & \text { caso contrário }\end{cases}
Dentro da região do poço
(0 \leq x \leq a)\] temos que \(\frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}=-k^{2} \psi. Encontre a expressão para k em termos de m, E e \hbar. Sugestão: a equação de Schrödinger independente do tempo é -\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}+V \psi=E \psi.

Passo 1

O enunciado dá um poço infinito de largura a\) com potencial \[V(x)= \begin{cases}0, & 0 \leq x \leq a \\\ \infty, & \text{caso contrário}\end{cases}
Dentro da região do poço (0\leq x\leq a)\] foi informado que \[\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -k^{2}\psi.\] A pergunta explícita é: "Encontre a expressão para \(k em termos de m, E e \hbar". As informações relevantes que temos são: o potencial dentro do poço é V=0 e a equação de Schrödinger independente do tempo que o professor deu como sugestão (vamos usá-la).

Passo 2

Escrevemos a equação de Schrödinger independente do tempo (essa é a fórmula que relaciona a energia da partícula com a derivada da função de onda):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} + V\psi = E\psi.
Explicando cada símbolo:
  • \psi(x) é a função de onda (dependendo de x);
  • m é a massa da partícula;
  • \hbar é a constante de Planck reduzida (unidades de \text{J}\cdot\text{s});
  • V é o potencial (aqui, dentro do poço V=0);
  • E é a energia total da partícula (autovalor que queremos relacionar ao comportamento da \psi).

Passo 3

Agora substituímos V=0 (pois estamos dentro do poço, 0\le x\le a) na equação de Schrödinger:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = E\psi.
Manipulamos algebricamente para isolar a derivada segunda. Multiplicamos ambos os lados por -\dfrac{2m}{\hbar^{2}}:
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -\frac{2mE}{\hbar^{2}}\,\psi.

Passo 4

Comparando a igualdade obtida
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -\frac{2mE}{\hbar^{2}}\,\psi
com a forma dada no enunciado
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -k^{2}\psi,
vemos que os coeficientes do -\psi devem ser iguais. Portanto identificamos
k^{2} = \frac{2mE}{\hbar^{2}}.

Passo 5

Extraímos k tomando a raiz quadrada (escolhemos a raiz positiva porque k é o número de onda — magnitude relacionada ao comprimento de onda):
k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}} = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.

Passo 6

Comentário físico e checagem rápida: k tem unidades de inverso de comprimento ( \text{m}^{-1}), pois \sqrt{2mE} tem unidades de momento ( \text{kg}\cdot\text{m}/\text{s}) e \hbar tem unidades de \text{kg}\cdot\text{m}^{2}/\text{s}, resultando em 1/\text{m}. Em problemas do poço infinito, as energias permitidas são quantizadas; por exemplo, para os níveis próprios
E_{n}=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2ma^{2}}
aqui k assume os valores k_{n}=\dfrac{n\pi}{a}, o que é consistente com a expressão geral acima.

Resposta

k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}

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