notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 8) Considere uma partícula confinada em um poço quadrado infinito de largura a\), cujo potencial é dado por \[V(x)= \begin{cases}0, & 0 \leq x \leq a \\\ \infty, & \text { caso contrário }\end{cases}
Determine a constante de normalização (A].
Sugestões:
  • dentro do poço temos que \psi(x)=A \sin (k x).
  • \int \sin ^{2}(b w) d w=\frac{w}{2}-\frac{\sin (2 b w)}{4 b}, você deve colocar os limites de integração e fazer as adaptações necessárias.
  • \operatorname{sen}(2 k a)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a constante de normalização A\) para a função de onda de uma partícula no poço quadrado infinito de largura \(a\). Informações que o enunciado dá e que vamos usar: - O potencial é \[V(x)= \begin{cases}0, & 0 \leq x \leq a \\\ \infty, & \text{caso contrário} \end{cases}
  • Dentro do poço a função de onda é dada por \psi(x)=A\sin(kx)\] (isso foi fornecido). - Fora do poço \(\psi(x)=0 (porque o potencial é infinito).
    - O exercício sugere usar a primitiva \int \sin^2(bw)\,dw=\dfrac{w}{2}-\dfrac{\sin(2bw)}{4b} e também indica que \sin(2ka)=0 (que decorre de condições de contorno).
    - O que é pedido: determinar o valor numérico (em termos de a) da constante de normalização A.

Passo 2

Entendendo o que significa “normalizar”: em mecânica quântica (ou neste problema) a função de onda \psi(x) representa uma amplitude de probabilidade. A probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1. Isso se traduz na condição de normalização
\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Como \psi(x)=0 fora do intervalo [0,a], a integral fica só no interior do poço:
\int_{0}^{a} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Substituindo \psi(x)=A\sin(kx) obtemos a equação que usamos para achar A:
\int_{0}^{a} A^2 \sin^2(kx)\,dx = 1.
Aqui A é a constante desconhecida que queremos; k é o número de onda associado ao estado (a ser restringido pelas condições de contorno).

Passo 3

Calcule a integral usando a primitiva sugerida. Aplicando a fórmula \int \sin^2(bw)\,dw=\dfrac{w}{2}-\dfrac{\sin(2bw)}{4b} com a substituição b=k e w=x, temos
\int_{0}^{a} \sin^2(kx)\,dx = \left[\frac{x}{2}-\frac{\sin(2kx)}{4k}\right]_{0}^{a}.
Avalie nos limites 0 e a:
\int_{0}^{a} \sin^2(kx)\,dx = \left(\frac{a}{2}-\frac{\sin(2ka)}{4k}\right) - \left(0-\frac{\sin(0)}{4k}\right) = \frac{a}{2}-\frac{\sin(2ka)}{4k},
pois \sin(0)=0. Então a condição de normalização A^2 vezes essa integral igual a 1 fica
A^2\left(\frac{a}{2}-\frac{\sin(2ka)}{4k}\right)=1.

Passo 4

Agora usamos as condições de contorno do poço infinito para determinar k. A função de onda deve ser contínua e finita, e fora do poço ela é zero; isso implica que nos pontos x=0 e x=a a função de onda deve satisfazer \psi(0)=0 e \psi(a)=0. Para \psi(x)=A\sin(kx) temos:
  • \psi(0)=A\sin(0)=0, que já é satisfeita.
  • \psi(a)=A\sin(ka)=0 exige \sin(ka)=0.
    As soluções de \sin(ka)=0 são ka=n\pi, com n inteiro. O caso n=0 \psi\equiv 0 (função nula, não-aceitável fisicamente), então tomamos n=1,2,3,\dots. Portanto
k = \frac{n\pi}{a},\qquad n=1,2,3,\dots

Passo 5

Com k=\dfrac{n\pi}{a} obtemos 2ka=2n\pi, e portanto \sin(2ka)=\sin(2n\pi)=0. Usando isso na expressão do Passo 3 simplifica a integral:
\int_{0}^{a} \sin^2(kx)\,dx = \frac{a}{2}.
Logo a condição de normalização vira
A^2\cdot\frac{a}{2}=1.
Isolando A^2 e depois A:
A^2=\frac{2}{a},\qquad A=\sqrt{\frac{2}{a}}.
Escolhemos o sinal positivo para A porque a normalização define apenas o módulo de A; a fase global (sinal) não altera probabilidades. Portanto a constante de normalização conveniente e usual é A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.

Passo 6

Resumo prático: para cada modo quantizado n temos a função de onda normalizada
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\quad n=1,2,3,\dots
Essas funções satisfazem \int_0^a |\psi_n(x)|^2 dx=1. Se quiser, teste rápido com a identidade \sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2 e integre; dá o mesmo resultado mencionado no Passo 3 e 5.

Resposta

A=\sqrt{\dfrac{2}{a}}

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