notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 8) Considere uma partícula confinada em um poço quadrado infinito de largura
Determine a constante de normalização (A].
Sugestões:
- dentro do poço temos que
.
-
, você deve colocar os limites de integração e fazer as adaptações necessárias.
-
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a constante de normalização
- Dentro do poço a função de onda é dada por
(porque o potencial é infinito).
- O exercício sugere usar a primitivae também indica que (que decorre de condições de contorno).
- O que é pedido: determinar o valor numérico (em termos de) da constante de normalização .
Passo 2
Entendendo o que significa “normalizar”: em mecânica quântica (ou neste problema) a função de onda
representa uma amplitude de probabilidade. A probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1. Isso se traduz na condição de normalização
Como
fora do intervalo
, a integral fica só no interior do poço:
Substituindo
obtemos a equação que usamos para achar
:
Aqui
é a constante desconhecida que queremos;
é o número de onda associado ao estado (a ser restringido pelas condições de contorno).
Passo 3
Calcule a integral usando a primitiva sugerida. Aplicando a fórmula
com a substituição
e
, temos
Avalie nos limites
e
:
pois
. Então a condição de normalização
vezes essa integral igual a
fica
Passo 4
Agora usamos as condições de contorno do poço infinito para determinar
. A função de onda deve ser contínua e finita, e fora do poço ela é zero; isso implica que nos pontos
e
a função de onda deve satisfazer
e
. Para
temos:
-
, que já é satisfeita. -
exige .
As soluções desão , com inteiro. O caso dá (função nula, não-aceitável fisicamente), então tomamos . Portanto
Passo 5
Com
obtemos
, e portanto
. Usando isso na expressão do Passo 3 simplifica a integral:
Logo a condição de normalização vira
Isolando
e depois
:
Escolhemos o sinal positivo para
porque a normalização define apenas o módulo de
; a fase global (sinal) não altera probabilidades. Portanto a constante de normalização conveniente e usual é
.
Passo 6
Resumo prático: para cada modo quantizado
temos a função de onda normalizada
Essas funções satisfazem
. Se quiser, teste rápido com a identidade
e integre; dá o mesmo resultado mencionado no Passo 3 e 5.