notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 2) Escreva uma “receita” para calcular o valor esperado de qualquer quantidade dinâmica,
, para uma partícula no estado
.
Sugestão: o operador de momento é
Passo 1
O enunciado pede uma “receita” (procedimento passo a passo) para calcular o valor esperado de qualquer quantidade dinâmica
para uma partícula no estado
. \n
Informações dadas e condições que vamos usar: \n
Informações dadas e condições que vamos usar: \n
- Temos a função de onda (estado)
— normalmente complexa e definida em todo o eixo real (ou no domínio físico do problema). \n - O enunciado sugere o operador de momento como
. \n - Precisamos obter uma expressão prática para o valor esperado
. \n
Observação: não começamos a calcular nada aqui — apenas listamos o que o problema pede e o que foi informado.
Passo 2
Verifique a normalização de
e, se necessário, normalize-a. \n
O que é normalização e por que é necessária: a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser . Isso significa que
deve satisfazer
O que é normalização e por que é necessária: a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser
Se essa integral não for
, multiplique
por uma constante complexa
e ajuste
até que
isto é, escolha
Explicação prática: sempre confirme (ou imponha) a normalização antes de calcular valores esperados — senão os resultados ficam escalados.
Passo 3
Promova as variáveis clássicas
e
a operadores quânticos. \n
Definições padrão em representação de posição: \n
Definições padrão em representação de posição: \n
- O operador posição é multiplicação por
:
- O operador momento em representação de posição, na convenção mais comum, é
ou, seguindo a sugestão do enunciado, se o seu curso usa
em vez de
, escreva
Aqui
é a constante de Planck reduzida; se o seu enunciado usa
tomem cuidado com fatores
. \n
Explicação do que significa: transformar em
é a regra básica da quantização na representação de posição.
Explicação do que significa: transformar
Passo 4
Construa o operador correspondente
a partir da função clássica
. \n
Regra prática: substitua por
e
por
na expressão de
:
Regra prática: substitua
Atenção essencial — ordenamento: \n
- Se
envolve produtos de e (por exemplo , etc.), e não comutam em geral ( ). Então a ordem importa. \n - Para garantir que
seja um operador observável (hermitiano), use simetrização (ordenamento simétrico). Exemplo prático:
Regra de bolso no exame: quando houver dúvida sobre ordenamento, simetrize as combinações de
e
para obter um operador hermitiano.
Passo 5
Calcule o valor esperado como um integral com
e
. \n
Fórmula direta:
Fórmula direta:
Passos práticos para avaliar esse integral numa prova: \n
- Aplique
sobre — isto pode envolver derivadas (por causa de ). \n - Multiplique o resultado por
. \n - Integre sobre
no domínio apropriado (geralmente ). \n
Condições de contorno: normalmente assumimos quee suas derivadas suficientes vão a zero nas bordas (por exemplo ), o que justifica integrações por partes sem termos de contorno.
Passo 6
Exemplos concretos (passo a passo) para fixar a técnica. \n
(a) Expectação de posição:
(a) Expectação de posição:
Isto é direto:
atua multiplicando. \n
(b) Expectação de momento:
(b) Expectação de momento:
Para ver que
é real (importante em provas): faça integração por partes. Supondo
e
vão a zero nas bordas,
Tomando o conjugado complexo da expressão original vê-se que ele coincide com seu conjugado — portanto é real. \n
(c) Expectação de energia cinética :
(c) Expectação de energia cinética
Integrando por partes duas vezes (e usando que os termos de borda desaparecem) obtém-se a forma útil
que é frequentemente mais fácil de avaliar e deixa claro que
é real e não-negativo.
Passo 7
Quando
depende do tempo ou
depende explicitamente do tempo: como acompanhar o tempo do valor esperado. \n
Regra útil (teorema de Ehrenfest):
Regra útil (teorema de Ehrenfest):
onde
é o comutador e
é o Hamiltoniano do sistema. \n
Interpretação prática: em provas, se querem a taxa de variação do valor esperado, aplique essa fórmula — ela conecta a evolução quântica com as equações clássicas médias.
Interpretação prática: em provas, se querem a taxa de variação do valor esperado, aplique essa fórmula — ela conecta a evolução quântica com as equações clássicas médias.
Passo 8
Checklist prático para o exame — faça isso sempre, em ordem: \n
- Confirme/normalize
. \n - Traduza
para , substituindo (ou a convenção de indicada no enunciado). \n - Se existirem produtos não comutativos, use ordenamento simétrico para garantir hermiticidade. \n
- Calcule
. \n - Calcule a integral
. Use integração por partes para simplificar (eliminando derivadas de quando conveniente), assumindo termos de contorno nulos. \n - Verifique que o resultado é real (sanity check). \n
- Se precisarem da derivada temporal, use o teorema de Ehrenfest.
Resposta
- Normalizar
de modo que .\n - Substituir
com e com (ou se a sua convenção usar ).\n - Construir
, simetrizando produtos não comutativos (por ex. ).\n - Calcular
, usando integração por partes e condições de contorno apropriadas para simplificar.\n - (Se necessário) obter
por .