notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 2) Escreva uma “receita” para calcular o valor esperado de qualquer quantidade dinâmica, Q(x, p), para uma partícula no estado \Psi.
Sugestão: o operador de momento é (h / i)(\partial / \partial x)

Passo 1

O enunciado pede uma “receita” (procedimento passo a passo) para calcular o valor esperado de qualquer quantidade dinâmica Q(x,p) para uma partícula no estado \Psi. \n
Informações dadas e condições que vamos usar: \n
  • Temos a função de onda (estado) \Psi(x,t) — normalmente complexa e definida em todo o eixo real (ou no domínio físico do problema). \n
  • O enunciado sugere o operador de momento como \dfrac{h}{i}\dfrac{\partial}{\partial x}. \n
  • Precisamos obter uma expressão prática para o valor esperado \langle Q\rangle. \n
    Observação: não começamos a calcular nada aqui — apenas listamos o que o problema pede e o que foi informado.

Passo 2

Verifique a normalização de \Psi e, se necessário, normalize-a. \n
O que é normalização e por que é necessária: a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1. Isso significa que \Psi deve satisfazer
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx = 1.
Se essa integral não for 1, multiplique \Psi por uma constante complexa N e ajuste N até que
\int_{-\infty}^{\infty} |N\Psi(x,t)|^{2}\,dx = 1,
isto é, escolha
N = \left(\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^{2}\,dx \right)^{-1/2}.
Explicação prática: sempre confirme (ou imponha) a normalização antes de calcular valores esperados — senão os resultados ficam escalados.

Passo 3

Promova as variáveis clássicas x e p a operadores quânticos. \n
Definições padrão em representação de posição: \n
  • O operador posição é multiplicação por x:
\hat{x}\,\Phi(x) = x\,\Phi(x).
  • O operador momento em representação de posição, na convenção mais comum, é
\hat{p} = -\,i\hbar\,\frac{\partial}{\partial x},
ou, seguindo a sugestão do enunciado, se o seu curso usa h em vez de \hbar, escreva
\hat{p} = \frac{h}{i}\frac{\partial}{\partial x} = -\,i h\,\frac{\partial}{\partial x}.
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida; se o seu enunciado usa h tomem cuidado com fatores 2\pi. \n
Explicação do que significa: transformar p em \hat p é a regra básica da quantização na representação de posição.

Passo 4

Construa o operador correspondente \hat{Q} a partir da função clássica Q(x,p). \n
Regra prática: substitua x por \hat{x} e p por \hat{p} na expressão de Q:
Q(x,p)\\ \longrightarrow\\ \hat{Q} = Q(\hat{x},\hat{p}).
Atenção essencial — ordenamento: \n
  • Se Q envolve produtos de x e p (por exemplo xp, x^2 p etc.), \hat{x} e \hat{p} não comutam em geral ( [\hat{x},\hat{p}]=i\hbar). Então a ordem importa. \n
  • Para garantir que \hat{Q} seja um operador observável (hermitiano), use simetrização (ordenamento simétrico). Exemplo prático:
xp \longrightarrow \frac{1}{2}\big(\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}\big).
Regra de bolso no exame: quando houver dúvida sobre ordenamento, simetrize as combinações de \hat{x} e \hat{p} para obter um operador hermitiano.

Passo 5

Calcule o valor esperado como um integral com \Psi^{*} e \hat{Q}. \n
Fórmula direta:
\langle Q \rangle(t) \;=\; \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}(x,t)\; \hat{Q}\; \Psi(x,t)\; dx.
Passos práticos para avaliar esse integral numa prova: \n
  1. Aplique \hat{Q} sobre \Psi(x,t) — isto pode envolver derivadas (por causa de \hat p). \n
  2. Multiplique o resultado por \Psi^{*}(x,t). \n
  3. Integre sobre x no domínio apropriado (geralmente (-\infty,\infty)). \n
    Condições de contorno: normalmente assumimos que \Psi e suas derivadas suficientes vão a zero nas bordas (por exemplo x\to\pm\infty), o que justifica integrações por partes sem termos de contorno.

Passo 6

Exemplos concretos (passo a passo) para fixar a técnica. \n
(a) Expectação de posição:
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}(x,t)\, x\, \Psi(x,t)\,dx.
Isto é direto: x atua multiplicando. \n
(b) Expectação de momento:
\langle p\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}(x,t)\,\big(-i\hbar\partial_x\big)\Psi(x,t)\,dx.
Para ver que \langle p\rangle é real (importante em provas): faça integração por partes. Supondo \Psi e \partial_x\Psi vão a zero nas bordas,
\langle p\rangle = -i\hbar\int \Psi^{*}\partial_x\Psi\,dx = -i\hbar\Big[ \Psi^{*}\Psi\Big]_{-\infty}^{\infty} + i\hbar\int (\partial_x\Psi^{*})\Psi\,dx = i\hbar\int (\partial_x\Psi^{*})\Psi\,dx.
Tomando o conjugado complexo da expressão original vê-se que ele coincide com seu conjugado — portanto é real. \n
(c) Expectação de energia cinética T=\dfrac{p^{2}}{2m}:
\hat{T} = \frac{\hat{p}^{2}}{2m} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\partial_x^{2},
\langle T\rangle = \int \Psi^{*}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\partial_x^{2}\right)\Psi\,dx.
Integrando por partes duas vezes (e usando que os termos de borda desaparecem) obtém-se a forma útil
\langle T\rangle = \frac{\hbar^{2}}{2m}\int |\partial_x\Psi|^{2}\,dx,
que é frequentemente mais fácil de avaliar e deixa claro que \langle T\rangle é real e não-negativo.

Passo 7

Quando \Psi depende do tempo ou Q depende explicitamente do tempo: como acompanhar o tempo do valor esperado. \n
Regra útil (teorema de Ehrenfest):
\frac{d}{dt}\langle Q\rangle = \frac{i}{\hbar}\,\langle [\hat{H},\hat{Q}]\rangle + \left\langle \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t}\right\rangle,
onde [\hat{H},\hat{Q}]=\hat{H}\hat{Q}-\hat{Q}\hat{H} é o comutador e \hat{H} é o Hamiltoniano do sistema. \n
Interpretação prática: em provas, se querem a taxa de variação do valor esperado, aplique essa fórmula — ela conecta a evolução quântica com as equações clássicas médias.

Passo 8

Checklist prático para o exame — faça isso sempre, em ordem: \n
  1. Confirme/normalize \Psi. \n
  2. Traduza Q(x,p) para \hat{Q}(\hat{x},\hat{p}), substituindo \hat{p}=-i\hbar\partial_x (ou a convenção de h indicada no enunciado). \n
  3. Se existirem produtos não comutativos, use ordenamento simétrico para garantir hermiticidade. \n
  4. Calcule \hat{Q}\Psi. \n
  5. Calcule a integral \langle Q\rangle=\int \Psi^{*}\,\hat{Q}\Psi\,dx. Use integração por partes para simplificar (eliminando derivadas de \Psi quando conveniente), assumindo termos de contorno nulos. \n
  6. Verifique que o resultado é real (sanity check). \n
  7. Se precisarem da derivada temporal, use o teorema de Ehrenfest.

Resposta

  1. Normalizar \Psi de modo que \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(x,t)|^{2}dx=1.\n
  2. Substituir x\mapsto\hat{x} com \hat{x}\Phi(x)=x\Phi(x) e p\mapsto\hat{p} com \hat{p}=-\,i\hbar\partial_{x} (ou \hat{p}=\dfrac{h}{i}\partial_{x} se a sua convenção usar h).\n
  3. Construir \hat{Q}=Q(\hat{x},\hat{p}), simetrizando produtos não comutativos (por ex. xp\mapsto\frac{1}{2}(\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})).\n
  4. Calcular \displaystyle\langle Q\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}(x,t)\,\hat{Q}\,\Psi(x,t)\,dx, usando integração por partes e condições de contorno apropriadas para simplificar.\n
  5. (Se necessário) obter \dfrac{d}{dt}\langle Q\rangle por \displaystyle\frac{d}{dt}\langle Q\rangle=\frac{i}{\hbar}\langle[\hat{H},\hat{Q}]\rangle+\left\langle\frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\right\rangle.

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