Mostre que \langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{m} \int \Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x} d x
Sugestão:
\langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{2 m} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{m} \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx.
Informações dadas ou implícitas no enunciado:
  1. A integral é tomada em x de -\infty a +\infty.
  2. Foi sugerida a forma
\langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{2 m} \int_{-\infty}^{\infty}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right)\,dx,
ou seja, uma forma “simetrizada” do integrando.
3. Estamos lidando com funções de onda \Psi(x,t) físicas, ou seja, normalizáveis e tais que |\Psi(x,t)|^2\to 0 quando x\to\pm\infty. Essa condição será necessária para justificar que termos de contorno em integrais por partes desaparecem.
Nenhuma outra informação será pedida; a resolução segue a partir desses pontos.

Passo 2

Definições e conceitos essenciais (explicados de forma clara):
  1. A constante \hbar é a constante de Planck reduzida; i é a unidade imaginária; m é a massa da partícula.
  2. A expectativa do momento linear \hat p numa função de onda \Psi é dada por
\langle p\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\,\hat p\,\Psi\,dx.
  1. O operador momento em representação de posição é
\hat p = -\,i\hbar\frac{\partial}{\partial x}.
Explicação curta do porquê: um operador corresponde a uma grandeza física; para momentum essa é a forma padrão em mecânica quântica. Aqui \Psi^{*} é o complexo conjugado de \Psi e \partial/\partial x indica derivada em x.
4. A velocidade média \langle v\rangle relaciona-se com o momento médio por
\langle v\rangle=\frac{\langle p\rangle}{m},
pois classically v=p/m, e em média a mesma relação vale para os operadores (para uma partícula não sujeita a complicações adicionais).

Passo 3

Derivação direta a partir da definição de \langle p\rangle:
  1. Escrevendo \langle p\rangle usando \hat p temos
\langle p\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\left(-i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\,dx.
  1. Dividindo por m para obter \langle v\rangle,
\langle v\rangle=\frac{\langle p\rangle}{m}=\frac{1}{m}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\left(-i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\,dx.
  1. Colocando o fator na frente,
\langle v\rangle=-\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx,
que é exatamente a expressão que queríamos demonstrar. Aqui cada símbolo já foi explicado: \Psi^{*} é o conjugado, \partial \Psi/\partial x é a derivada espacial, dx é o elemento de integração.

Passo 4

Mostrando a equivalência com a forma sugerida (a forma simetrizada) — por que a sugestão aparece e como ela leva à mesma expressão:
  1. Partimos da forma sugerida
\langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{2 m}\int_{-\infty}^{\infty}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right)\,dx.
  1. Denotemos
A=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx.
Note que o segundo integral é o complexo conjugado de A:
\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\,dx = A^{*}.
Portanto o integrando simétrico é A-A^{*}.
3. Outra forma direta (usando integração por partes) para o segundo termo: aplique integração por partes a
\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\,dx.
Tomando u=\Psi e dv=\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\,dx, a fórmula \int u\,dv = [u v]_{-\infty}^{\infty}-\int v\,du
\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\,dx = \left[\Psi\Psi^{*}\right]_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx.
A fronteira \left[\Psi\Psi^{*}\right]_{-\infty}^{\infty}=\left[|\Psi|^2\right]_{-\infty}^{\infty} vale zero para funções de onda físicas (assumimos |\Psi|^2\to 0 quando x\to\pm\infty). Logo
\int_{-\infty}^{\infty}\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\,dx = -\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx = -A.
  1. Substituindo isto na forma simetrizada:
\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right)\,dx = A - (-A) = 2A.
  1. Portanto a forma sugerida dá
\langle v\rangle=-\frac{i\hbar}{2m}\cdot 2A = -\frac{i\hbar}{m}\,A,
ou seja
\langle v\rangle=-\frac{i\hbar}{m}\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx,
o resultado desejado. Assim a forma simetrizada e a forma com um único termo são equivalentes, desde que |\Psi|^2 vá a zero nas fronteiras (condição física natural).

Passo 5

Comentário físico e de consistência (didático e motivador):
  1. A forma simetrizada
-\frac{i\hbar}{2m}\int\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right)dx
é frequentemente usada porque deixa explícito que o integrando é puramente real (ela aparece como diferença entre uma quantidade e seu conjugado, o que garante a realidade de \langle v\rangle). A forma com um único termo é mais compacta e direta quando já se aceita \hat p=-i\hbar\partial_x.
2. A hipótese de que |\Psi|^2\to 0 em x\to\pm\infty é natural para estados normalizáveis; sem essa hipótese o passo da integração por partes pode introduzir termos de contorno que impediriam a simplificação.
3. Você está no caminho certo: memorize que \langle p\rangle=\int \Psi^{*}(-i\hbar\partial_x)\Psi\,dx e \langle v\rangle=\langle p\rangle/m; a manipulação com integração por partes é um truque padrão para escrever a forma simetrizada e verificar a realidade do resultado. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no método!

Resposta

\langle v\rangle=-\dfrac{i \hbar}{m}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx

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