Mostre que
Sugestão:
Sugestão:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas ou implícitas no enunciado:
- A integral é tomada em
de a . - Foi sugerida a forma
ou seja, uma forma “simetrizada” do integrando.
3. Estamos lidando com funções de onda físicas, ou seja, normalizáveis e tais que
quando
. Essa condição será necessária para justificar que termos de contorno em integrais por partes desaparecem.
Nenhuma outra informação será pedida; a resolução segue a partir desses pontos.
3. Estamos lidando com funções de onda
Nenhuma outra informação será pedida; a resolução segue a partir desses pontos.
Passo 2
Definições e conceitos essenciais (explicados de forma clara):
- A constante
é a constante de Planck reduzida; é a unidade imaginária; é a massa da partícula. - A expectativa do momento linear
numa função de onda é dada por
- O operador momento em representação de posição é
Explicação curta do porquê: um operador corresponde a uma grandeza física; para momentum essa é a forma padrão em mecânica quântica. Aqui
é o complexo conjugado de
e
indica derivada em
.
4. A velocidade média relaciona-se com o momento médio por
4. A velocidade média
pois classically
, e em média a mesma relação vale para os operadores (para uma partícula não sujeita a complicações adicionais).
Passo 3
Derivação direta a partir da definição de
:
- Escrevendo
usando temos
- Dividindo por
para obter ,
- Colocando o fator na frente,
que é exatamente a expressão que queríamos demonstrar. Aqui cada símbolo já foi explicado:
é o conjugado,
é a derivada espacial,
é o elemento de integração.
Passo 4
Mostrando a equivalência com a forma sugerida (a forma simetrizada) — por que a sugestão aparece e como ela leva à mesma expressão:
- Partimos da forma sugerida
- Denotemos
Note que o segundo integral é o complexo conjugado de
:
Portanto o integrando simétrico é
.
3. Outra forma direta (usando integração por partes) para o segundo termo: aplique integração por partes a
3. Outra forma direta (usando integração por partes) para o segundo termo: aplique integração por partes a
Tomando
e
, a fórmula
dá
A fronteira
vale zero para funções de onda físicas (assumimos
quando
). Logo
- Substituindo isto na forma simetrizada:
- Portanto a forma sugerida dá
ou seja
o resultado desejado. Assim a forma simetrizada e a forma com um único termo são equivalentes, desde que
vá a zero nas fronteiras (condição física natural).
Passo 5
Comentário físico e de consistência (didático e motivador):
- A forma simetrizada
é frequentemente usada porque deixa explícito que o integrando é puramente real (ela aparece como diferença entre uma quantidade e seu conjugado, o que garante a realidade de
). A forma com um único termo é mais compacta e direta quando já se aceita
.
2. A hipótese de que em
é natural para estados normalizáveis; sem essa hipótese o passo da integração por partes pode introduzir termos de contorno que impediriam a simplificação.
3. Você está no caminho certo: memorize que e
; a manipulação com integração por partes é um truque padrão para escrever a forma simetrizada e verificar a realidade do resultado. Vai dar certo na prova — respira fundo e confia no método!
2. A hipótese de que
3. Você está no caminho certo: memorize que