notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 1) Explique como é definido o operador de momento na mecânica quântica e mostre como, a partir dele, se obtém a expressão para o valor esperado da energia cinética de uma partícula.
Sugestão: o valor esperado da velocidade é
\langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{m} \int \Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x} d x.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar como é definido o operador de momento para uma partícula na mecânica quântica; (2) mostrar, a partir desse operador, como obter a expressão para o valor esperado da energia cinética de uma partícula.
Informações dadas/úteis do enunciado: a sugestão diz que o valor esperado da velocidade é \langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{m} \int \Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x}\, dx.
Não há outras hipóteses explícitas no enunciado, então assumiremos as hipóteses usuais: a função de onda \Psi(x,t) é normalizável e suficientemente suave (deriváveis) e as condições de contorno farão desaparecer termos de contorno (por exemplo \Psi\to0 quando |x|\to\infty, ou condições periódicas apropriadas).

Passo 2

Ideia física e definição por correspondência: a regra prática em mecânica quântica é associar a cada observável clássica uma operação sobre funções de onda. Para o momento linear, usamos a correspondência entre a forma de ondas planas e o valor clássico do momento. Considere uma onda plana unidimensional
\Psi_k(x)=A e^{ikx},
onde A é constante e k é o número de onda. Para essa onda plana, a quantidade clássica associada é p=\hbar k. Agora vemos qual operador, aplicado a \Psi_k, produz esse valor multiplicativo:
-i\hbar \frac{\partial}{\partial x}\Psi_k(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \big(A e^{ikx}\big) = -i\hbar (ik) A e^{ikx} = \hbar k \, \Psi_k(x).
Portanto esse operador atua sobre a onda plana como multiplicação por \hbar k, isto é, pelo momento. Por isso definimos o operador de momento unidimensional como
\hat{p} = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}.
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida e \partial/\partial x é a derivada espacial. Essa é a definição usual obtida pela correspondência onda-partícula.

Passo 3

Por que a forma com derivada é plausível e desejável: além de reproduzir o comportamento da onda plana, \hat{p} precisa ser um operador Hermitiano (autovalores reais). Vamos checar a hermiticidade no espaço de Hilbert L^2(\mathbb{R}). Para duas funções suficientemente suaves \varphi e \psi,
\int \varphi^*(\hat{p}\psi)\,dx = -i\hbar \int \varphi^* \frac{\partial \psi}{\partial x}\,dx.
Fazendo integração por partes (explicada no passo seguinte) obtemos
\int \varphi^*(\hat{p}\psi)\,dx = \int (\hat{p}\varphi)^* \psi\,dx + \text{(termo de contorno)}.
Se as funções de onda satisfazem condições que anulam o termo de contorno (por exemplo \varphi,\psi\to0 em |x|\to\infty), então \hat{p} é Hermitiano: \langle \varphi|\hat{p}\psi\rangle=\langle \hat{p}\varphi|\psi\rangle. Isso garante que valores esperados de \hat{p} sejam reais.

Passo 4

Valor esperado do momento e da velocidade: pelo postulado dos valores esperados,
\langle p \rangle = \int \Psi^*(x,t)\,\hat{p}\,\Psi(x,t)\,dx.
Substituindo \hat{p},
\langle p \rangle = -i\hbar \int \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx.
Como a velocidade clássica é v=p/m, o valor esperado da velocidade é simplesmente \langle v\rangle=\langle p\rangle/m. Assim recuperamos a sugestão do enunciado:
\langle v\rangle = -\frac{i\hbar}{m} \int \Psi^* \frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx.
Essa é exatamente a fórmula sugerida; aqui vimos que ela vem direto da definição de \hat{p} e do postulado \hat{v}=\hat{p}/m.

Passo 5

Definição do operador energia cinética: classicamente T=p^2/(2m). Usando a regra de correspondência, substituímos p pelo operador \hat{p} e obtemos o operador da energia cinética
\hat{T} = \frac{\hat{p}^2}{2m} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}.
Ou seja, \hat{T} age sobre \Psi como multiplicar por -\frac{\hbar^2}{2m} e aplicar a segunda derivada espacial.

Passo 6

Expressão direta para o valor esperado da energia cinética: pelo postulado,
\langle T \rangle = \int \Psi^*(x,t)\,\hat{T}\,\Psi(x,t)\,dx = -\frac{\hbar^2}{2m}\int \Psi^*(x,t)\,\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2}\,dx.
Essa já é uma forma correta, mas costuma-se preferir uma forma que evidencie que \langle T\rangle é não negativa. Para isso fazemos integração por partes uma vez para transformar a segunda derivada em produto de derivadas primeiras.

Passo 7

Integração por partes detalhada (passo a passo): aplicamos integração por partes à integral
I = \int \Psi^* \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\,dx.
Tomamos u=\Psi^* e dv=\frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\,dx. Então du=\frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\,dx e v=\frac{\partial \Psi}{\partial x}. A fórmula de integração por partes dá
I = \left[\Psi^*(x)\frac{\partial \Psi(x)}{\partial x}\right]_{-\infty}^{\infty} - \int \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx.
O primeiro termo é o termo de contorno. Para funções de onda físicas (normalizáveis) que tendem a zero em |x|\to\infty, ou para condições periódicas onde o termo se cancela, esse termo de contorno é zero. Assim obtemos
\int \Psi^* \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\,dx = - \int \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx.

Passo 8

Resultado final para \langle T\rangle: substituindo a identidade do passo anterior em \langle T\rangle vem
\langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m}\,I = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(- \int \frac{\partial \Psi^*}{\partial x}\frac{\partial \Psi}{\partial x}\,dx\right) = \frac{\hbar^2}{2m}\int \left|\frac{\partial \Psi}{\partial x}\right|^2 dx.
Essa forma deixa claro que \langle T\rangle \ge 0, pois é a integral de um módulo quadrado vezes uma constante positiva.

Passo 9

Interpretação alternativa em espaço de momento: usando a transformada de Fourier que define a função de onda no espaço de momento \varphi(p),
\varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int e^{-ipx/\hbar}\Psi(x)\,dx,
o operador \hat{p} age por multiplicação em espaço de momento e, consequentemente,
\langle T\rangle = \int \frac{p^2}{2m} \, |\varphi(p)|^2\,dp.
Essa forma é útil para ver que |\varphi(p)|^2 é a densidade de probabilidade do momento e que a energia cinética média é a média de p^2/(2m) com essa densidade.

Passo 10

Exemplo rápido de verificação: para uma onda plana em caixa com autovalor k, \Psi(x)\propto e^{ikx}, temos \hat{p}\Psi=\hbar k\Psi e \hat{T}\Psi=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}\Psi. Então \langle T\rangle=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}, que é a energia cinética esperada coerente com a relação clássica T=p^2/(2m) com p=\hbar k. (Ondas planas no espaço inteiro não são normalizáveis, por isso uso a caixa ou condições periódicas.)

Passo 11

Resumo das hipóteses importantes e ponto prático para prova: as fórmulas derivadas exigem que \Psi e suas derivadas sejam bem comportadas nas fronteiras do domínio (tipicamente \Psi\to0 em |x|\to\infty ou condições periódicas). Em provas, o caminho mais curto é: (i) justificar \hat{p}=-i\hbar\partial_x pela ação sobre ondas planas; (ii) escrever \hat{T}=\hat{p}^2/(2m)=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2; (iii) calcular \langle T\rangle=\int \Psi^* \hat{T}\Psi\,dx e, se pedirem, transformar por integração por partes para obter \langle T\rangle=\frac{\hbar^2}{2m}\int|\partial_x\Psi|^2dx. Vai tranquilo: pede essas etapas e justifica o termo de contorno.

Resposta

\hat{p} = -i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}
\langle T\rangle = \displaystyle \int \Psi^*(x,t)\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)\Psi(x,t)\,dx = \frac{\hbar^2}{2m}\displaystyle \int \left|\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial x}\right|^2 dx = \displaystyle \int \frac{p^2}{2m}\,|\varphi(p)|^2\,dp

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