Mostre que
Sugestão:
-
,
Sugestão:
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que a expectativa da velocidade satisfaz
Informações dadas: a sugestão
Condições implícitas que usaremos:
é normalizável e decai suficientemente rápido em
(assim limites em infinito serão zero). Não vamos assumir nada mais além do necessário.
Passo 2
Definição usada e estratégia inicial.
Definimos a posição média por
Na mecânica quântica a velocidade média é a derivada temporal da posição média:
Explico:
é a média probabilística da posição; sua variação no tempo dá a velocidade média. Vamos diferenciar a integral de
e usar a sugestão para substituir
.
Passo 3
Diferenciação sob o sinal de integral.
Como
é suficientemente suave, podemos trocar derivada temporal com a integral (regra de Leibniz para integrais improprias bem comportadas). Assim
Passo 4
Substituição da sugestão e fatoração de constantes.
Usando a identidade sugerida substituímos
:
Como
é constante em
e
, retiramos da integral:
Passo 5
Integração por partes para remover a derivada em
.
Aplicamos integração por partes na integral
, com
. A fórmula é
Aqui tomamos
,
. Então
Pelo decaimento de
e suas derivadas em
o termo de contorno
vale zero (explico:
é integrável, e
decai mais rápido que
, logo
). Assim sobra
que é exatamente a expressão que queríamos obter.
Passo 6
(Opcional — explicando de onde vem a sugestão) Derivação rápida da identidade sugerida a partir da equação de Schrödinger dependente do tempo.
A equação de Schrödinger é
e sua conjugada complexa é
Agora calculamos
Substituindo
e
a partir das equações acima, vemos que os termos com
se cancelam e fica
Reconhecemos que a combinação à direita é a derivada em
de
, pois
Portanto
que era a sugestão. Isso também mostra fisicamente que a quantidade entre parênteses define a densidade de corrente de probabilidade.