Mostre que \langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{2 m} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right) d x
Sugestão:
  • \frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i \hbar}{2 m} \frac{\partial}{\partial x}\left(\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right),

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que a expectativa da velocidade satisfaz
\langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{2 m} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right)\,dx.
Informações dadas: a sugestão
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i \hbar}{2 m}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right).
Condições implícitas que usaremos: \Psi(x,t) é normalizável e decai suficientemente rápido em x\to\pm\infty (assim limites em infinito serão zero). Não vamos assumir nada mais além do necessário.

Passo 2

Definição usada e estratégia inicial.
Definimos a posição média por
\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x\,|\Psi(x,t)|^{2}\,dx.
Na mecânica quântica a velocidade média é a derivada temporal da posição média:
\langle v\rangle=\frac{d}{dt}\langle x\rangle.
Explico: \langle x\rangle é a média probabilística da posição; sua variação no tempo dá a velocidade média. Vamos diferenciar a integral de \langle x\rangle e usar a sugestão para substituir \partial_t|\Psi|^2.

Passo 3

Diferenciação sob o sinal de integral.
Como \Psi é suficientemente suave, podemos trocar derivada temporal com a integral (regra de Leibniz para integrais improprias bem comportadas). Assim
\langle v\rangle=\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{\infty} x\,|\Psi|^{2}\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} x\,\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}\,dx.

Passo 4

Substituição da sugestão e fatoração de constantes.
Usando a identidade sugerida substituímos \partial_t|\Psi|^2:
\langle v\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} x\left[\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\right)\right]dx.
Como \dfrac{i\hbar}{2m} é constante em x e t, retiramos da integral:
\langle v\rangle=\frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{\infty} x\,\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\right)dx.

Passo 5

Integração por partes para remover a derivada em x.
Aplicamos integração por partes na integral \int x\,\partial_x f(x)\,dx, com f(x)=\Psi^{*}\partial_x\Psi-\Psi\partial_x\Psi^{*}. A fórmula é
\int_{a}^{b} x\,f'(x)\,dx = \big[x f(x)\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Aqui tomamos a=-\infty, b=+\infty. Então
\langle v\rangle=\frac{i\hbar}{2m}\left(\big[x\left(\Psi^{*}\partial_x\Psi-\Psi\partial_x\Psi^{*}\right)\big]_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^{*}\partial_x\Psi-\Psi\partial_x\Psi^{*}\right)dx\right).
Pelo decaimento de \Psi e suas derivadas em \pm\infty o termo de contorno \big[x(\cdots)\big]_{-\infty}^{\infty} vale zero (explico: |\Psi|^2 é integrável, e \Psi decai mais rápido que 1/|x|, logo x\Psi^*\partial_x\Psi\to0). Assim sobra
\langle v\rangle=-\frac{i\hbar}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\right)dx,
que é exatamente a expressão que queríamos obter.

Passo 6

(Opcional — explicando de onde vem a sugestão) Derivação rápida da identidade sugerida a partir da equação de Schrödinger dependente do tempo.
A equação de Schrödinger é
i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V(x)\Psi,
e sua conjugada complexa é
-i\hbar\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+V(x)\Psi^{*}.
Agora calculamos
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial t}+\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial t}.
Substituindo \partial_t\Psi e \partial_t\Psi^{*} a partir das equações acima, vemos que os termos com V(x) se cancelam e fica
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i\hbar}{2m}\left(\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}\right).
Reconhecemos que a combinação à direita é a derivada em x de \Psi^{*}\partial_x\Psi-\Psi\partial_x\Psi^{*}, pois
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\right) =\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}.
Portanto
\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^{2}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial\Psi^{*}}{\partial x}\right),
que era a sugestão. Isso também mostra fisicamente que a quantidade entre parênteses define a densidade de corrente de probabilidade.

Resposta

\langle v\rangle=-\frac{i \hbar}{2 m} \int_{-\infty}^{\infty}\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right)\,dx.

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