As notas de uma turma de 8 alunos em uma prova de matemática foram:
.
a) Calcule a média, a moda e a mediana.
b) Qual medida de tendência central melhor representa o desempenho da turma? Justifique.
a) Calcule a média, a moda e a mediana.
b) Qual medida de tendência central melhor representa o desempenho da turma? Justifique.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado). Temos as notas de uma turma com 8 alunos:
As perguntas são:
(a) Calcular a média, a moda e a mediana dessas notas.
(b) Indicar qual medida de tendência central melhor representa o desempenho da turma e justificar a escolha.
(a) Calcular a média, a moda e a mediana dessas notas.
(b) Indicar qual medida de tendência central melhor representa o desempenho da turma e justificar a escolha.
Passo 2
Calcular a média — definição e fórmula. A média aritmética é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. Se chamarmos as notas de
e
for o número de observações, a fórmula é
Aqui
é o número de alunos (quantas notas temos) e
é a soma de todas as notas. Vamos aplicar:
.
Passo 3
Somar as notas passo a passo para usar na média. Vou somar em blocos para evitar erros:
Logo a soma total das notas é
.
Passo 4
Calcular a média numérica. Usando a fórmula da média com
e soma
,
Interpretação rápida: a média é aproximadamente
, que é o valor “médio” se distribuirmos igualmente a soma entre os 8 alunos.
Passo 5
Calcular a moda — definição e procedimento. A moda é o valor que aparece com maior frequência na lista de dados. Contamos quantas vezes cada nota aparece. Vou listar as frequências:
Como
tem a maior frequência (3 repetições), a moda é
.
Passo 6
Calcular a mediana — definição, procedimento e aplicação. A mediana é o valor central quando os dados estão ordenados. Se o número de observações
for ímpar, a mediana é o valor da posição
. Se
for par (como aqui,
), a mediana é a média (aritmética) dos dois valores centrais, ou seja das posições
e
.
Primeiro ordenamos as notas em ordem crescente:
Agora
é par, então as posições centrais são a 4ª e a 5ª. Os valores nessas posições são
(4ª) e
(5ª). Portanto a mediana é
Passo 7
Comparar as medidas e justificar qual é a melhor para representar o desempenho da turma. Observações úteis e interpretação:
- A média é
. Ela é sensível a valores extremos (outliers): um valor muito baixo ou muito alto puxa a média para baixo ou para cima. - A moda é
: indica a nota mais frequente, ou seja, a nota que mais alunos obtiveram. - A mediana é
: indica o ponto central da distribuição ordenada e é robusta a valores extremos.
Na nossa lista há uma nota relativamente baixa (
) e uma nota mais alta (
), mas a presença do
puxa a média para baixo, fazendo com que a média seja menor que a mediana e a moda. Como a mediana não é afetada por essa nota isolada e coincide com a moda (
), ela representa bem o “aluno típico” da turma. Portanto a mediana é a medida mais apropriada para representar o desempenho central da turma; a moda também confirma que a nota mais comum é
, então usar mediana (com referência à moda) dá uma boa ideia do desempenho típico.
Resposta
(a)
(b) A melhor medida é a mediana: (é robusta a valores extremos e coincide com a moda, representando bem o desempenho típico da turma).
(b) A melhor medida é a mediana: