A Nova Força Resultante: Para um sistema massa-mola oscilando em um meio viscoso, a força resultante é agora a soma de duas forças. Escreva a expressão completa para \sum F.

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos a expressão completa para \sum F num sistema massa-mola que oscila em um meio viscoso, ou seja, qual é a soma das forças atuando na massa. Informações relevantes dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • Há uma mola que aplica uma força restauradora proporcional ao deslocamento.
  • Há um meio viscoso que gera uma força de amortecimento proporcional à velocidade.
  • Existe uma massa m sujeita a essas forças e a segunda lei de Newton deve ser aplicada.

Passo 2

Definição das variáveis e do sinal/convenção de movimento:
  • Seja x(t) o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio, positivo no sentido escolhido.
  • A velocidade é \dot{x}(t) e a aceleração é \ddot{x}(t).
  • Tomamos sinais de forma que forças que tendem a restaurar para x=0 sejam negativas quando x>0.

Passo 3

Força da mola (Lei de Hooke): a mola aplica uma força proporcional ao deslocamento e dirigida para o centro (posição de equilíbrio). A expressão é
F_{\text{mola}} = -k\,x,
onde k>0 é a constante elástica da mola. Explicação: o sinal negativo indica que a força aponta no sentido oposto ao deslocamento — se x>0, a mola puxa para a esquerda (negativo), se x<0, ela puxa para a direita (positivo).

Passo 4

Força viscosa (amortecimento): em um meio viscoso a força de resistência costuma ser proporcional à velocidade e oposta ao sentido do movimento. Escrevemos
F_{\text{amort}} = -c\,\dot{x},
onde c>0 é o coeficiente de amortecimento (também às vezes indicado por b ou \gamma). Explicação: se a velocidade \dot{x}>0 (movendo-se para o lado positivo), a força viscosa é negativa (opõe o movimento); se \dot{x}<0, a força é positiva.

Passo 5

Soma das forças resultantes: a resultante é a soma das duas forças que atuam (pressupondo ausência de outras forças externas):
\sum F = F_{\text{mola}} + F_{\text{amort}} = -k\,x - c\,\dot{x}.
Aqui está a expressão pedida para a soma das forças atuantes sobre a massa.

Passo 6

Aplicando a segunda lei de Newton para relacionar com a massa e a aceleração:
\sum F = m\,\ddot{x}.
Substituindo a soma obtida no passo anterior obtemos a equação de movimento completa:
m\,\ddot{x} = -c\,\dot{x} - k\,x.
Rearranjando para a forma padrão da equação diferencial do oscilador amortecido:
m\,\ddot{x} + c\,\dot{x} + k\,x = 0.

Passo 7

Comentários práticos e interpretação rápida:
  • m\,\ddot{x} é a inércia (força necessária para acelerar a massa).
  • c\,\dot{x} é o termo de amortecimento (dissipa energia, faz oscilações morrerem com o tempo).
  • k\,x é o termo elástico (restaura a massa à posição de equilíbrio).
  • Dependendo do valor relativo de c em relação a m e k, o sistema pode ser subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido (conceito útil na hora da prova).

Resposta

\sum F = -k\,x - c\,\dot{x} = m\,\ddot{x}

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