A Nova Força Resultante: Para um sistema massa-mola oscilando em um meio viscoso, a força resultante é agora a soma de duas forças. Escreva a expressão completa para
.
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos a expressão completa para
num sistema massa-mola que oscila em um meio viscoso, ou seja, qual é a soma das forças atuando na massa. Informações relevantes dadas (explicitamente ou implicitamente):
- Há uma mola que aplica uma força restauradora proporcional ao deslocamento.
- Há um meio viscoso que gera uma força de amortecimento proporcional à velocidade.
- Existe uma massa
sujeita a essas forças e a segunda lei de Newton deve ser aplicada.
Passo 2
Definição das variáveis e do sinal/convenção de movimento:
- Seja
o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio, positivo no sentido escolhido. - A velocidade é
e a aceleração é . - Tomamos sinais de forma que forças que tendem a restaurar para
sejam negativas quando .
Passo 3
Força da mola (Lei de Hooke): a mola aplica uma força proporcional ao deslocamento e dirigida para o centro (posição de equilíbrio). A expressão é
onde
é a constante elástica da mola. Explicação: o sinal negativo indica que a força aponta no sentido oposto ao deslocamento — se
, a mola puxa para a esquerda (negativo), se
, ela puxa para a direita (positivo).
Passo 4
Força viscosa (amortecimento): em um meio viscoso a força de resistência costuma ser proporcional à velocidade e oposta ao sentido do movimento. Escrevemos
onde
é o coeficiente de amortecimento (também às vezes indicado por
ou
). Explicação: se a velocidade
(movendo-se para o lado positivo), a força viscosa é negativa (opõe o movimento); se
, a força é positiva.
Passo 5
Soma das forças resultantes: a resultante é a soma das duas forças que atuam (pressupondo ausência de outras forças externas):
Aqui está a expressão pedida para a soma das forças atuantes sobre a massa.
Passo 6
Aplicando a segunda lei de Newton para relacionar com a massa e a aceleração:
Substituindo a soma obtida no passo anterior obtemos a equação de movimento completa:
Rearranjando para a forma padrão da equação diferencial do oscilador amortecido:
Passo 7
Comentários práticos e interpretação rápida:
-
é a inércia (força necessária para acelerar a massa). -
é o termo de amortecimento (dissipa energia, faz oscilações morrerem com o tempo). -
é o termo elástico (restaura a massa à posição de equilíbrio). - Dependendo do valor relativo de
em relação a e , o sistema pode ser subamortecido, criticamente amortecido ou superamortecido (conceito útil na hora da prova).