Para descrever o movimento, precisamos de uma linguagem que conecte uma função com suas próprias taxas de variação. Precisamos forjar uma Equação Diferencial.
A Equação Final: Substitua as expressões de
e
na sua equação e reorganize todos os termos para o lado esquerdo.
A Equação Final: Substitua as expressões de
Passo 1
O que o enunciado pede (de forma direta): construir a “Equação Diferencial final” substituindo as expressões de
e
numa equação que relaciona força/efeitos de inércia, atrito/amortecimento e restituição elástica, e reorganizar todos os termos para o lado esquerdo.
Informações que vamos usar (dados explícitos ou implícitos que o enunciado pressupõe):
Informações que vamos usar (dados explícitos ou implícitos que o enunciado pressupõe):
- existe uma função
que descreve a posição em função do tempo; - a velocidade é a derivada temporal da posição:
(vou usar essa forma); - a aceleração é a segunda derivada temporal da posição:
; - a equação que conecta esses termos (forma padrão que o enunciado sugere usar) é
onde
,
e
são constantes (respectivamente: massa/inércia, coeficiente de amortecimento e constante elástica).
A partir daqui vamos substituir e
pelas suas expressões em derivadas e reorganizar tudo à esquerda.
A partir daqui vamos substituir
Passo 2
Explicando bem devagar o que significam as expressões que vamos substituir.
- A velocidade
é a taxa de variação instantânea da posição . Em símbolos:
Isto significa: para cada instante
pegamos a inclinação da curva
; essa inclinação é a velocidade. Na prova você pode pensar: "derivar
em relação a
me dá
".
- A aceleração
é a taxa de variação da velocidade, isto é, a segunda derivada da posição:
Isto significa: derivando
em relação a
ou derivando duas vezes
você obtém
.
Essas são definições fundamentais: sempre que vir
substitua por
e quando vir
substitua por
.
Passo 3
Escrevendo a equação inicial (a “sua equação” que o enunciado quer que a gente transforme). Vou usar a forma linear clássica que combina inércia, amortecimento e mola:
Aqui cada termo tem interpretação física e matemática:
é o termo de inércia (proporcional à aceleração),
é o termo de amortecimento (proporcional à velocidade) e
é o termo elástico (proporcional à posição).
Passo 4
Agora substituímos explicitamente
e
pelas derivadas de
. Usando as definições do Passo 2, fazemos as trocas:
Isso já é uma equação diferencial: contém
e suas derivadas. Aqui estou mostrando passo a passo a substituição textual para você ver a correspondência termo a termo.
Passo 5
Reorganizando e colocando tudo claramente no lado esquerdo (já está todo do mesmo lado, mas vamos também colocar em uma forma padrão dividida por
para facilitar interpretação e uso em provas). Dividindo toda a equação por
(assumindo
) obtemos a forma normalizada:
Explicação do porquê: ao dividir por
transformamos os coeficientes em termos de parâmetros adimensionais/relativos
e
, o que é útil na análise e nas soluções (por exemplo, quando você aplicar métodos padrão para resolver equações lineares homogêneas de segunda ordem).
Passo 6
Interpretações e notações alternativas (curto e prático para a prova):
- Forma canônica (já apresentada):
- Notação com operador diferencial
:
Essa notação é útil para aplicar métodos algébricos (achar raízes do polinômio característico) quando for resolver a equação na prova. Mas se pedirem, entregue sempre a forma com derivadas explícitas, como em
.