Para descrever o movimento, precisamos de uma linguagem que conecte uma função com suas próprias taxas de variação. Precisamos forjar uma Equação Diferencial.
A Equação Final: Substitua as expressões de v e a na sua equação e reorganize todos os termos para o lado esquerdo.

Passo 1

O que o enunciado pede (de forma direta): construir a “Equação Diferencial final” substituindo as expressões de v e a numa equação que relaciona força/efeitos de inércia, atrito/amortecimento e restituição elástica, e reorganizar todos os termos para o lado esquerdo.
Informações que vamos usar (dados explícitos ou implícitos que o enunciado pressupõe):
  • existe uma função x(t) que descreve a posição em função do tempo;
  • a velocidade é a derivada temporal da posição: v(t)=\dfrac{dx}{dt} (vou usar essa forma);
  • a aceleração é a segunda derivada temporal da posição: a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}};
  • a equação que conecta esses termos (forma padrão que o enunciado sugere usar) é
m\,a + b\,v + k\,x = 0,
onde m, b e k são constantes (respectivamente: massa/inércia, coeficiente de amortecimento e constante elástica).
A partir daqui vamos substituir v e a pelas suas expressões em derivadas e reorganizar tudo à esquerda.

Passo 2

Explicando bem devagar o que significam as expressões que vamos substituir.
  • A velocidade v(t) é a taxa de variação instantânea da posição x(t). Em símbolos:
v(t)=\frac{dx}{dt}.
Isto significa: para cada instante t pegamos a inclinação da curva x(t); essa inclinação é a velocidade. Na prova você pode pensar: "derivar x em relação a t me dá v".
  • A aceleração a(t) é a taxa de variação da velocidade, isto é, a segunda derivada da posição:
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}.
Isto significa: derivando v(t) em relação a t ou derivando duas vezes x(t) você obtém a(t).
Essas são definições fundamentais: sempre que vir v substitua por \dfrac{dx}{dt} e quando vir a substitua por \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}.

Passo 3

Escrevendo a equação inicial (a “sua equação” que o enunciado quer que a gente transforme). Vou usar a forma linear clássica que combina inércia, amortecimento e mola:
m\,a + b\,v + k\,x = 0.
Aqui cada termo tem interpretação física e matemática: m\,a é o termo de inércia (proporcional à aceleração), b\,v é o termo de amortecimento (proporcional à velocidade) e k\,x é o termo elástico (proporcional à posição).

Passo 4

Agora substituímos explicitamente a e v pelas derivadas de x(t). Usando as definições do Passo 2, fazemos as trocas:
m\left(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\right) + b\left(\frac{dx}{dt}\right) + k\,x = 0.
Isso já é uma equação diferencial: contém x(t) e suas derivadas. Aqui estou mostrando passo a passo a substituição textual para você ver a correspondência termo a termo.

Passo 5

Reorganizando e colocando tudo claramente no lado esquerdo (já está todo do mesmo lado, mas vamos também colocar em uma forma padrão dividida por m para facilitar interpretação e uso em provas). Dividindo toda a equação por m (assumindo m\neq 0) obtemos a forma normalizada:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m}\,\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}\,x = 0.
Explicação do porquê: ao dividir por m transformamos os coeficientes em termos de parâmetros adimensionais/relativos \dfrac{b}{m} e \dfrac{k}{m}, o que é útil na análise e nas soluções (por exemplo, quando você aplicar métodos padrão para resolver equações lineares homogêneas de segunda ordem).

Passo 6

Interpretações e notações alternativas (curto e prático para a prova):
  • Forma canônica (já apresentada):
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \frac{b}{m}\,\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}\,x = 0.
  • Notação com operador diferencial D=\dfrac{d}{dt}:
\left(mD^{2}+bD+k\right)x=0.
Essa notação é útil para aplicar métodos algébricos (achar raízes do polinômio característico) quando for resolver a equação na prova. Mas se pedirem, entregue sempre a forma com derivadas explícitas, como em \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}}+\cdots.

Resposta

\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{b}{m}\,\frac{dx}{dt}+\frac{k}{m}\,x=0.

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