Considere um condutor cilíndrico que transporta uma corrente uniforme. Qual a razão entre os campos magnéticos gerados respectivamente na superfície de um fio condutor cilíndrico de diâmetro
e num ponto localizado a
do centro desse condutor?
Escolha uma opção:
a.
b. 1
c. 3
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre os campos magnéticos gerados (1) na superfície de um fio condutor cilíndrico de diâmetro
e (2) num ponto localizado a
do centro desse condutor, supondo corrente uniformemente distribuída no condutor. Informações dadas:
A pergunta é: qual a razão
?
Passo 2
Observação importante sobre as posições: o raio do fio é
e o ponto dado tem
. Como
, o ponto está dentro do condutor. Isso faz diferença porque o campo magnético dentro de um condutor com corrente distribuída uniformemente não tem a mesma expressão que fora dele.
Passo 3
Apresento a ferramenta que usamos aqui: a Lei de Ampère em sua forma integral, que relaciona o campo magnético ao corrente elétrica envolvida por um laço fechado:
Expliquei cada símbolo:
é a permeabilidade do vácuo (constante),
é o campo magnético,
é um elemento do caminho fechado, e
é a corrente total contida dentro do laço. Pela simetria cilíndrica do problema, as linhas de campo magnético são círculos concêntricos e
tem módulo constante sobre um círculo de raio
. Assim a integral vira
.
Passo 4
Como a corrente está uniformemente distribuída na seção circular do fio, a corrente dentro de um círculo de raio
(com
) é proporcional à área desse círculo. Se a corrente total do fio é
, o trecho envolvido por um raio
tem corrente
Aqui
e
são as áreas do círculo de raio
e da seção do fio, respectivamente.
Passo 5
Aplicando a Lei de Ampère com a expressão de
:
Isolando
(campo magnético no interior, para
):
Expliquei as variáveis:
é o módulo do campo a distância
do centro;
é a corrente total;
é o raio do condutor.
Passo 6
No caso da superfície do fio,
. Fora (ou na superfície) a expressão do campo magnético por simetria e Lei de Ampère é a conhecida fórmula para um fio cilíndrico como se toda corrente estivesse concentrada no eixo:
(Esse resultado é consistente também substituindo
na fórmula interna obtida no passo anterior, visto que dentro a fórmula era
e em
ela dá o mesmo valor.)
Passo 7
Agora calculamos a razão pedida:
Substituindo numericamente
e
:
Portanto a razão é
.
Resposta
e.