Considere um condutor cilíndrico que transporta uma corrente uniforme. Qual a razão entre os campos magnéticos gerados respectivamente na superfície de um fio condutor cilíndrico de diâmetro 0,3 \mathrm{~cm} e num ponto localizado a 0,1 \mathrm{~cm} do centro desse condutor?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 2 / 3
\bigcirc b. 1
\bigcirc c. 3
\bigcirc d. 5 / 3
\bigcirc e. 3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a razão entre os campos magnéticos gerados (1) na superfície de um fio condutor cilíndrico de diâmetro 0{,}3\\ \mathrm{cm} e (2) num ponto localizado a 0{,}1\\ \mathrm{cm} do centro desse condutor, supondo corrente uniformemente distribuída no condutor. Informações dadas:
\text{diâmetro} = 0{,}3\\ \mathrm{cm},\qquad \text{logo }R=\frac{0{,}3}{2}=0{,}15\\ \mathrm{cm}.â
\text{ponto interno a }r=0{,}1\\ \mathrm{cm}.
A pergunta é: qual a razão \dfrac{B_{\text{superfície}}}{B_{r=0{,}1}}í?

Passo 2

Observação importante sobre as posições: o raio do fio é R=0{,}15\\ \mathrm{cm} e o ponto dado tem r=0{,}1\\ \mathrm{cm}. Como r<R, o ponto está dentro do condutor. Isso faz diferença porque o campo magnético dentro de um condutor com corrente distribuída uniformemente não tem a mesma expressão que fora dele.

Passo 3

Apresento a ferramenta que usamos aqui: a Lei de Ampère em sua forma integral, que relaciona o campo magnético ao corrente elétrica envolvida por um laço fechado:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}.
Expliquei cada símbolo:
\mu_0 é a permeabilidade do vácuo (constante), \mathbf{B} é o campo magnético, d\mathbf{\ell} é um elemento do caminho fechado, e I_{\text{enc}} é a corrente total contida dentro do laço. Pela simetria cilíndrica do problema, as linhas de campo magnético são círculos concêntricos e \mathbf{B} tem módulo constante sobre um círculo de raio r. Assim a integral vira B(2\pi r).

Passo 4

Como a corrente está uniformemente distribuída na seção circular do fio, a corrente dentro de um círculo de raio r (com r\le R) é proporcional à área desse círculo. Se a corrente total do fio é I, o trecho envolvido por um raio r tem corrente
I_{\text{enc}} = I\cdot\frac{\text{área do círculo de raio }r}{\text{área do fio}} = I\cdot\frac{\pi r^2}{\pi R^2} = I\frac{r^2}{R^2}.áíá
Aqui \pi r^2 e \pi R^2 são as áreas do círculo de raio r e da seção do fio, respectivamente.

Passo 5

Aplicando a Lei de Ampère com a expressão de I_{\text{enc}}:
B(2\pi r)=\mu_0 I_{\text{enc}}=\mu_0 I\frac{r^2}{R^2}.
Isolando B (campo magnético no interior, para r<R):
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\frac{r}{R^2}.
Expliquei as variáveis: B(r) é o módulo do campo a distância r do centro; I é a corrente total; R é o raio do condutor.

Passo 6

No caso da superfície do fio, r=R. Fora (ou na superfície) a expressão do campo magnético por simetria e Lei de Ampère é a conhecida fórmula para um fio cilíndrico como se toda corrente estivesse concentrada no eixo:
B_{\text{superfície}}=B(R)=\frac{\mu_0 I}{2\pi R}.í
(Esse resultado é consistente também substituindo r=R na fórmula interna obtida no passo anterior, visto que dentro a fórmula era \propto r e em r=R ela dá o mesmo valor.)

Passo 7

Agora calculamos a razão pedida:
\frac{B_{\text{superfície}}}{B(r)}=\frac{\dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}}{\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\cdot\dfrac{r}{R^2}} =\frac{1/R}{r/R^2}=\frac{R}{r}.í
Substituindo numericamente R=0{,}15\\ \mathrm{cm} e r=0{,}10\\ \mathrm{cm}:
\frac{B_{\text{superfície}}}{B_{r=0{,}1}}=\frac{0{,}15}{0{,}10}=1{,}5=\frac{3}{2}.í
Portanto a razão é \dfrac{3}{2}.

Resposta

e. \tfrac{3}{2}

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