Integrar f(x, y, z)=x-3 y^{2}+z sobre a curva suave por partes C composta pelo par de segmentos de reta que unem os pontos (0,0,0) a (1,1,0) e (1,1,0) a (1,1,1).
Por que os resultados foram diferentes…?!
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular a integral de linha da função f(x,y,z)=x-3y^{2}+z sobre a curva suave por partes C formada pelos dois segmentos de reta: C_1 de (0,0,0) a (1,1,0) e C_2 de (1,1,0) a (1,1,1).
Explicar por que “os resultados foram diferentes” (ou seja, por que o valor obtido usando essa curva pode diferir do valor obtido usando outra curva que ligue os mesmos pontos).
Informações dadas e assumidas:
A integral a calcular é a integral de uma função escalar sobre a curva — isto é, a integral do tipo \displaystyle\int_{C} f(x,y,z)\,ds, onde ds é o elemento de comprimento de arco.
A curva C é a união C=C_1\cup C_2, com os dois segmentos descritos acima.
Não há nenhuma outra informação (por ex. um campo vetorial ou uma forma diferencial); portanto vamos usar a definição de integral de função escalar sobre curva em termos de parametrização e comprimento de arco.
Passo 2
Lembrete/mini-aula sobre integral de função escalar ao longo de uma curva:
Se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], então o elemento de comprimento de arco é
Explicação intuitiva rápida: f é avaliada ao longo da curva e multiplicada pelo pedaço infinitesimal de comprimento ds; portanto tanto os valores de f ao longo do caminho quanto o comprimento do caminho influenciam o resultado — por isso a integral costuma depender da trajetória.
Passo 3
Parametrização e cálculo em C_1 (segmento de (0,0,0) a (1,1,0)):
Parametrização conveniente: \displaystyle \mathbf{r}_1(t)=(t,t,0), com t\in[0,1].
Ou seja: integral ao longo da reta direta vale 0, diferente de -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3}{2}.
Passo 7
Por que os resultados foram diferentes?
Porque a integral \displaystyle\int_{C} f\,ds de uma função escalar f com respeito ao comprimento de arco depende da curva C escolhida: tanto os valores de f ao longo do caminho quanto o comprimento (via ds) influenciam o resultado. Duas curvas diferentes que ligam os mesmos pontos geralmente têm valores diferentes de \int f\,ds.
Observação conceitual extra (útil na prova): somente em casos particulares a integral de linha é independente do caminho — por exemplo, para integrais do tipo \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} (produto escalar com um campo vetorial) isso ocorre quando \mathbf{F} é um campo conservativo; no caso de integrais escalares com ds não há uma «regra geral» de independência do caminho. Então não estranhe: path-dependence é o comportamento normal aqui.
Resposta
-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3}{2}
Os resultados foram diferentes porque a integral \displaystyle\int_{C} f\,ds depende do caminho escolhido; curvas distintas entre os mesmos pontos geralmente produzem valores diferentes.