De novo!

Integrar f(x, y, z)=x-3 y^{2}+z sobre a curva suave por partes C composta pelo par de segmentos de reta que unem os pontos (0,0,0) a (1,1,0) e (1,1,0) a (1,1,1).
  • Por que os resultados foram diferentes…?!

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral de linha da função f(x,y,z)=x-3y^{2}+z sobre a curva suave por partes C formada pelos dois segmentos de reta: C_1 de (0,0,0) a (1,1,0) e C_2 de (1,1,0) a (1,1,1).
  • Explicar por que “os resultados foram diferentes” (ou seja, por que o valor obtido usando essa curva pode diferir do valor obtido usando outra curva que ligue os mesmos pontos).
Informações dadas e assumidas:
  • A integral a calcular é a integral de uma função escalar sobre a curva — isto é, a integral do tipo \displaystyle\int_{C} f(x,y,z)\,ds, onde ds é o elemento de comprimento de arco.
  • A curva C é a união C=C_1\cup C_2, com os dois segmentos descritos acima.
  • Não há nenhuma outra informação (por ex. um campo vetorial ou uma forma diferencial); portanto vamos usar a definição de integral de função escalar sobre curva em termos de parametrização e comprimento de arco.

Passo 2

Lembrete/mini-aula sobre integral de função escalar ao longo de uma curva:
  • Se uma curva C é parametrizada por \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), t\in[a,b], então o elemento de comprimento de arco é
ds = \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\,dt = \sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}\,dt.
  • A integral de uma função escalar f(x,y,z) sobre C é dada por
\int_{C} f(x,y,z)\,ds = \int_{a}^{b} f\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\,dt.
  • Se C for composto por partes (como aqui), calcula-se a integral em cada parte e soma-se:
\int_{C} f\,ds = \int_{C_1} f\,ds + \int_{C_2} f\,ds.
Explicação intuitiva rápida: f é avaliada ao longo da curva e multiplicada pelo pedaço infinitesimal de comprimento ds; portanto tanto os valores de f ao longo do caminho quanto o comprimento do caminho influenciam o resultado — por isso a integral costuma depender da trajetória.

Passo 3

Parametrização e cálculo em C_1 (segmento de (0,0,0) a (1,1,0)):
  • Parametrização conveniente: \displaystyle \mathbf{r}_1(t)=(t,t,0), com t\in[0,1].
  • Derivada: \displaystyle \mathbf{r}_1'(t)=(1,1,0). Portanto
\bigl\lVert \mathbf{r}_1'(t)\bigr\rVert = \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{2}.
  • Avaliando f na parametrização: \displaystyle f\bigl(\mathbf{r}_1(t)\bigr)=x-3y^{2}+z = t-3t^{2}+0 = t-3t^{2}.
  • Logo a integral em C_1 é
\int_{C_1} f\,ds = \int_{0}^{1} (t-3t^{2})\cdot \sqrt{2}\,dt = \sqrt{2}\int_{0}^{1}\bigl(t-3t^{2}\bigr)\,dt.
  • Calcule a integral escalar:
\int_{0}^{1}\bigl(t-3t^{2}\bigr)\,dt = \left[\frac{t^{2}}{2}-t^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.
  • Portanto
\int_{C_1} f\,ds = \sqrt{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Parametrização e cálculo em C_2 (segmento de (1,1,0) a (1,1,1)):
  • Parametrização conveniente: \displaystyle \mathbf{r}_2(s)=(1,1,s), com s\in[0,1].
  • Derivada: \displaystyle \mathbf{r}_2'(s)=(0,0,1). Portanto
\bigl\lVert \mathbf{r}_2'(s)\bigr\rVert = \sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}=1.
  • Avaliando f na parametrização: \displaystyle f\bigl(\mathbf{r}_2(s)\bigr)=x-3y^{2}+z = 1-3\cdot1^{2}+s = -2 + s.
  • Logo a integral em C_2 é
\int_{C_2} f\,ds = \int_{0}^{1} (-2+s)\cdot 1\,ds = \int_{0}^{1}(-2+s)\,ds.
  • Calcule a integral:
\int_{0}^{1}(-2+s)\,ds = \left[-2s+\frac{s^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = -2+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}.

Passo 5

Soma das integrais nas duas partes:
\int_{C} f\,ds = \int_{C_1} f\,ds + \int_{C_2} f\,ds = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{3}{2}.
Esse é o valor pedido para a integral sobre a curva C dada.

Passo 6

Comparação com a integral ao longo da reta direta entre (0,0,0) e (1,1,1) (para ver por que pode aparecer resultado diferente):
  • Parametrização da reta direta: \displaystyle \mathbf{r}(t)=(t,t,t), t\in[0,1].
  • \displaystyle \mathbf{r}'(t)=(1,1,1) e \bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert=\sqrt{3}.
  • Avaliando f: \displaystyle f(\mathbf{r}(t))=x-3y^{2}+z = t-3t^{2}+t = 2t-3t^{2}.
  • Integral ao longo dessa reta:
\int_{\text{reta}} f\,ds = \int_{0}^{1} (2t-3t^{2})\sqrt{3}\,dt = \sqrt{3}\int_{0}^{1}(2t-3t^{2})\,dt.
  • Calcule a integral interna:
\int_{0}^{1}(2t-3t^{2})\,dt = \left[t^{2}-t^{3}\right]_{0}^{1}=1-1=0.
  • Portanto
\int_{\text{reta}} f\,ds = \sqrt{3}\cdot 0 = 0.
Ou seja: integral ao longo da reta direta vale 0, diferente de -\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3}{2}.

Passo 7

Por que os resultados foram diferentes?
  • Porque a integral \displaystyle\int_{C} f\,ds de uma função escalar f com respeito ao comprimento de arco depende da curva C escolhida: tanto os valores de f ao longo do caminho quanto o comprimento (via ds) influenciam o resultado. Duas curvas diferentes que ligam os mesmos pontos geralmente têm valores diferentes de \int f\,ds.
  • Observação conceitual extra (útil na prova): somente em casos particulares a integral de linha é independente do caminho — por exemplo, para integrais do tipo \displaystyle\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} (produto escalar com um campo vetorial) isso ocorre quando \mathbf{F} é um campo conservativo; no caso de integrais escalares com ds não há uma «regra geral» de independência do caminho. Então não estranhe: path-dependence é o comportamento normal aqui.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{3}{2}
Os resultados foram diferentes porque a integral \displaystyle\int_{C} f\,ds depende do caminho escolhido; curvas distintas entre os mesmos pontos geralmente produzem valores diferentes.

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