(EsPCEx-SP) O domínio da função real f(x)=\log _{x+1}\left(2 x^{2}-5 x+2\right) é o conjunto:
a) D=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\,-1 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right.\right. ou x>2 e \left.x \neq 0\right\}
b) D=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\,-1<x<\frac{1}{2}\right.\right. ou x>2 e \left.x \neq 0\right\}
c) D=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq-1, x \neq 0 e x>2\}
d) D=\varnothing

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função real f(x)=\log_{x+1}\!\left(2x^{2}-5x+2\right).
Informações dadas (explicitamente na função):
  • a base do logaritmo é \;x+1\;;
  • o argumento do logaritmo é \;2x^{2}-5x+2\;.
    O que se quer: determinar o conjunto de valores de x em \mathbb{R} para os quais f(x) está definida (ou seja, o domínio).

Passo 2

Relembrando (aula rápida e intuitiva): para \log_{a}(b) ser um número real válido valem duas condições essenciais:
  1. A base a deve ser positiva e diferente de 1. Em notação:
a>0\quad\text{e}\quad a\neq 1.
Isto porque logaritmo com base negativa não é definido no conjunto dos reais, e base igual a 1 não gera função logarítmica (pois \log_1 não é definida).
2. O argumento b deve ser positivo:
b>0.
Isto porque logaritmo de número não positivo não existe no conjunto dos reais.
Vamos aplicar essas condições com a=x+1 e b=2x^{2}-5x+2.

Passo 3

Condição sobre a base \;x+1\;:
  • Base positiva:
x+1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-1.
  • Base diferente de 1:
x+1\neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0.
Portanto, pelas condições da base obtemos:
x>-1\quad\text{e}\quad x\neq 0.

Passo 4

Condição sobre o argumento \;2x^{2}-5x+2>0. Vamos resolver essa inequação quadrática passo a passo.
Calcula-se o discriminante \Delta da quadrática 2x^{2}-5x+2:
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot 2\cdot 2 = 25-16 = 9.
As raízes são
x=\frac{5\pm\sqrt{9}}{2\cdot 2}=\frac{5\pm 3}{4}.
Então as raízes são
x_{1}=\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad x_{2}=\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( 2>0), a parábola abre para cima e a expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes. Logo:
2x^{2}-5x+2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad x>2.
Note que as raízes x=\tfrac{1}{2} e x=2 tornam o argumento igual a zero, por isso devem ser excluídas (strict >0).

Passo 5

Agora intersectamos as duas condições (base e argumento):
  • Da base: x>-1 e x\neq 0.
  • Do argumento: x<\tfrac{1}{2} ou x>2.
Intersecção:
\bigl(x>-1\bigr)\\ \wedge\\ \bigl(x<\tfrac{1}{2}\\ \text{ou}\\ x>2\bigr)\\ \wedge\\ (x\neq 0).
Isto dá, em forma de união de intervalos:
(-1,0)\\ \cup\\ (0,\tfrac{1}{2})\\ \cup\\ (2,\infty).
Explicando em palavras: todos os x entre -1 e \tfrac{1}{2}, exceto x=0 (porque aí a base seria 1), e todos os x maiores que 2.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas:
  • A alternativa (a) inclui -1 e \tfrac{1}{2} e usa \leq, o que é errado (esses pontos tornam base ou argumento não admissíveis).
  • A alternativa (b) apresenta intervalos abertos -1<x<\tfrac{1}{2} e x>2 e também menciona x\neq 0; isto corresponde ao domínio encontrado (o x\neq 0 deve ser considerado para toda a solução, eliminando 0 do primeiro intervalo).
  • As alternativas (c) e (d) não coincidem com o domínio obtido.
Portanto a alternativa que corresponde ao domínio correto é a (b).

Resposta

(b)

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