(EsPCEx-SP) O domínio da função real f(x)=\log _{x+1}\left(2 x^{2}-5 x+2\right) é o conjunto:
a) D=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\,-1 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}\right.\right. ou x>2 e \left.x \neq 0\right\}
b) D=\left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\,-1<x<\frac{1}{2}\right.\right. ou x>2 e \left.x \neq 0\right\}
c) D=\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq-1, x \neq 0 e x>2\}
d) D=\varnothing
Passo 1
O enunciado pede o domínio da função real f(x)=\log_{x+1}\!\left(2x^{2}-5x+2\right).
Informações dadas (explicitamente na função):
a base do logaritmo é \;x+1\;;
o argumento do logaritmo é \;2x^{2}-5x+2\;.
O que se quer: determinar o conjunto de valores de x em \mathbb{R} para os quais f(x) está definida (ou seja, o domínio).
Passo 2
Relembrando (aula rápida e intuitiva): para \log_{a}(b) ser um número real válido valem duas condições essenciais:
A base a deve ser positiva e diferente de 1. Em notação:
a>0\quad\text{e}\quad a\neq 1.
Isto porque logaritmo com base negativa não é definido no conjunto dos reais, e base igual a 1 não gera função logarítmica (pois \log_1 não é definida).
2. O argumento b deve ser positivo:
b>0.
Isto porque logaritmo de número não positivo não existe no conjunto dos reais.
Vamos aplicar essas condições com a=x+1 e b=2x^{2}-5x+2.
Passo 3
Condição sobre a base \;x+1\;:
Base positiva:
x+1>0 \quad\Longrightarrow\quad x>-1.
Base diferente de 1:
x+1\neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x\neq 0.
Portanto, pelas condições da base obtemos:
x>-1\quad\text{e}\quad x\neq 0.
Passo 4
Condição sobre o argumento \;2x^{2}-5x+2>0. Vamos resolver essa inequação quadrática passo a passo.
Calcula-se o discriminante \Delta da quadrática 2x^{2}-5x+2:
Explicando em palavras: todos os x entre -1 e \tfrac{1}{2}, exceto x=0 (porque aí a base seria 1), e todos os x maiores que 2.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas:
A alternativa (a) inclui -1 e \tfrac{1}{2} e usa \leq, o que é errado (esses pontos tornam base ou argumento não admissíveis).
A alternativa (b) apresenta intervalos abertos -1<x<\tfrac{1}{2} e x>2 e também menciona x\neq 0; isto corresponde ao domínio encontrado (o x\neq 0 deve ser considerado para toda a solução, eliminando 0 do primeiro intervalo).
As alternativas (c) e (d) não coincidem com o domínio obtido.
Portanto a alternativa que corresponde ao domínio correto é a (b).