(FGV-SP) Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade.
Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a t anos, será \mathrm{Q}=\mathrm{A} \cdot(0,975)^{\mathrm{t}}.
Adotando os valores \ln 2=0,693 e \ln 0,975=-0,025, o valor da meia-vida dessa substância é aproximadamente:
a) 25,5 anos
b) 26,6 anos
c) 27,7 anos
d) 28,8 anos

Passo 1

O enunciado dá a lei de decaimento da substância e pede a meia-vida (tempo para a quantidade cair à metade). Informações fornecidas:
  • A quantidade daqui a t anos é \mathrm{Q}=\mathrm{A}\cdot(0,975)^{\mathrm{t}}.
  • Valores dados: \ln 2=0,693 e \ln 0,975=-0,025.
    O que o enunciado pede: encontrar o tempo T (em anos) tal que a quantidade tenha reduzido à metade, ou seja, \mathrm{Q}=\dfrac{\mathrm{A}}{2}.

Passo 2

Escrever a condição de meia-vida. A meia-vida T satisfaz
\mathrm{A}\cdot(0,975)^{T}=\frac{\mathrm{A}}{2}.
Como \mathrm{A}\neq 0, podemos dividir ambos os lados por \mathrm{A} e obter
(0,975)^{T}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Usar logaritmos para resolver a equação exponencial. Propriedade importante dos logaritmos:
se \;a^{x}=b\; então \;x=\dfrac{\ln b}{\ln a}.
Aplicando aqui, com a=0,975 e b=\dfrac{1}{2}, temos
T=\frac{\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)}{\ln(0,975)}.
Note que \ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln 2, então
T=\frac{-\ln 2}{\ln(0,975)}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos fornecidos: \ln 2=0,693 e \ln 0,975=-0,025. Assim,
T=\frac{-0,693}{-0,025}=\frac{0,693}{0,025}.

Passo 5

Fazer a divisão de modo claro (sem calculadora): multiplicando numerador e denominador por 1000 para eliminar vírgulas,
\frac{0,693}{0,025}=\frac{693}{25}.
Agora calcular \dfrac{693}{25}. Como 25\cdot 27=675 e 25\cdot 28=700, o quociente está entre 27 e 28. Para obter a parte decimal:
693-675=18 \quad\Rightarrow\quad \frac{18}{25}=0,72.
Portanto
\frac{693}{25}=27,72.

Passo 6

Arredondar conforme opções do enunciado. O valor T=27,72 anos corresponde aproximadamente a 27,7 anos (uma casa decimal), que é a alternativa (c). Checagem rápida: usamos que \ln(0,975)=-0,025, então T\cdot(-0,025)=-0,693 e \exp(-0,693)=0,5, consistente com a definição de meia-vida.

Resposta

c) 27,7 anos

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