(FGV-SP) Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade.
Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a
anos, será
.
Adotando os valores
e
, o valor da meia-vida dessa substância é aproximadamente:
a) 25,5 anos
b) 26,6 anos
c) 27,7 anos
d) 28,8 anos
Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a
Adotando os valores
a) 25,5 anos
b) 26,6 anos
c) 27,7 anos
d) 28,8 anos
Passo 1
O enunciado dá a lei de decaimento da substância e pede a meia-vida (tempo para a quantidade cair à metade). Informações fornecidas:
- A quantidade daqui a
anos é . - Valores dados:
e .
O que o enunciado pede: encontrar o tempo(em anos) tal que a quantidade tenha reduzido à metade, ou seja, .
Passo 2
Escrever a condição de meia-vida. A meia-vida
satisfaz
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Passo 3
Usar logaritmos para resolver a equação exponencial. Propriedade importante dos logaritmos:
se então
.
Aplicando aqui, com e
, temos
se
Aplicando aqui, com
Note que
, então
Passo 4
Substituir os valores numéricos fornecidos:
e
. Assim,
Passo 5
Fazer a divisão de modo claro (sem calculadora): multiplicando numerador e denominador por
para eliminar vírgulas,
Agora calcular
. Como
e
, o quociente está entre
e
. Para obter a parte decimal:
Portanto
Passo 6
Arredondar conforme opções do enunciado. O valor
anos corresponde aproximadamente a
anos (uma casa decimal), que é a alternativa (c). Checagem rápida: usamos que
, então
e
, consistente com a definição de meia-vida.
Resposta
c)
anos