Um núcleo de ^210 Po radioativo emite uma partícula alpha de carga +2 e. Quando a partícula alpha está a uma grande distância do núcleo, ela tem uma energia cinética de 5,30 MeV. Considere que a partícula alpha tenha uma energia cinética desprezível quando ela deixa a superfície do núcleo. O núcleo filho (ou residual) ^206 Pb tem uma carga de +82 e. Determine o raio do núcleo de ^206 Pb. (Despreze o raio da partícula alpha e considere que o núcleo de ^206 Pb permanece em repouso.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um núcleo de polônio-210 ( ^210Po) que emite uma partícula alfa com carga +2e. Quando essa partícula alfa está bem longe do núcleo, ela tem uma energia cinética de 5,30,MeV. A gente considera que a partícula alfa tem energia cinética quase zero quando ela sai da superfície do núcleo. O núcleo que sobra depois da emissão é o chumbo-206 ( ^206Pb) com carga de +82e. A pergunta é: qual é o raio desse núcleo de chumbo-206?
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia cinética, energia potencial elétrica e como relacionar essas energias para encontrar o raio do núcleo. Vamos usar fórmulas da física nuclear e da eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na conservação da energia. Quando a partícula alfa é emitida, a energia total do sistema é conservada. No ponto de emissão (superfície do núcleo), a partícula alfa tem energia cinética quase zero. Quando ela está a uma grande distância, toda essa energia potencial elétrica virou energia cinética. Então, podemos igualar a energia potencial inicial à energia cinética final.

Passo 3

A energia potencial elétrica entre duas cargas é dada pela fórmula:
U = k cdot Q1 cdot Q2R
Onde:
  • U é a energia potencial elétrica,
  • k é a constante eletrostática ( 8,988 times 10^9,N,m^2/C^2),
  • Q1 e Q2 são as cargas das partículas,
  • R é a distância entre as cargas (que, nesse caso, será o raio do núcleo).

Passo 4

Vamos considerar que a energia potencial inicial U é igual à energia cinética final da partícula alfa, que é 5,30,MeV. Primeiro, precisamos converter essa energia para joules, já que a constante k está em unidades do SI.
Sabemos que 1,eV = 1,602 times 10^-19,J, então:
5,30,MeV = 5,30 times 10^6 times 1,602 times 10^-19,J = 8,49 times 10^-13,J

Passo 5

Agora, as cargas das partículas são:
  • Partícula alfa: Q1 = +2e = 2 times 1,602 times 10^-19,C
  • Núcleo de chumbo-206: Q2 = +82e = 82 times 1,602 times 10^-19,C
Substituindo na fórmula da energia potencial:
U = k cdot Q1 cdot Q2R
Então:
8,49 times 10^-13,J = 8,988 times 10^9,N,m^2/C^2 times (2 times 1,602 times 10^-19,C) times (82 times 1,602 times 10^-19,C)R

Passo 6

Vamos resolver para R:
R = 8,988 times 10^9 times 2 times 1,602 times 10^-19 times 82 times 1,602 times 10^-198,49 times 10^-13
Calculando os valores numéricos:
R = 8,988 times 10^9 times 2 times 1,602 times 10^-19 times 82 times 1,602 times 10^-198,49 times 10^-13 approx 8,988 times 10^9 times 2 times 1,602^2 times 82 times 10^-388,49 times 10^-13
R approx 8,988 times 10^9 times 2 times 2,566 times 82 times 10^-388,49 times 10^-13 approx 8,988 times 10^9 times 420,568 times 10^-388,49 times 10^-13
R approx 3,781 times 10^-25,J,m8,49 times 10^-13 approx 4,45 times 10^-13,m
Convertendo para unidades mais comuns em física nuclear, como femtômetros ( 1,fm = 10^-15,m):
R approx 445,fm

Resposta

O raio do núcleo de ^206Pb é aproximadamente 445,fm.

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