Um núcleo de aço com um B de 0,72 \mathrm{~T} tem uma permeabilidade \mu de 8 \times 10^{-3} ( \mathrm{T} \cdot \mathrm{m} )/Ae. Se o comprimento do anel for de 20 cm e a área do núcleo for de 3 \mathrm{~cm}^{2}, calcule a relutância do percurso.
Se esse circuito magnético tiver um entreferro de ar de 0,2 \mathrm{~cm} além dos 20 cm do percurso fognado pelo aço temperado, qual a relutância do espaço de ar e quantos ampèresespira seriam necessários para manter um B de 0,72 \mathrm{~T} ? Admita que a área de ar no entreferro seja a mesma que a do núcleo de aço.

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado e o que precisa ser calculado:
  • Indução magnética alvo: B=0,72\\ \mathrm{T}.
  • Permeabilidade do núcleo de aço: \mu_{\text{núcleo}}=8\times10^{-3}\\ \mathrm{T\cdot m/A}ú.
  • Comprimento do percurso no aço: l_{\text{núcleo}}=20\\ \mathrm{cm}ú.
  • Área da seção do núcleo: A=3\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • No segundo caso há um entreferro de ar adicional com comprimento l_{\text{ar}}=0,2\\ \mathrm{cm} e mesma área A.
Perguntas:
  1. Calcular a relutância do percurso no núcleo de aço (sem entreferro).
  2. Calcular a relutância do entreferro de ar ( l_{\text{ar}}=0,2\\ \mathrm{cm}).
  3. Determinar quantos ampère‑espira (ampère‑voltas, ou NI) são necessários para manter B=0,72\\ \mathrm{T} considerando o entreferro.

Passo 2

Conceito e fórmula usada (aula rápida e prática):
  • Relutância magnética \mathcal{R} é o “resistor” ao fluxo magnético e, para um caminho homogêneo, calcula‑se por
\mathcal{R}=\frac{l}{\mu\,A},
onde:
  • l é o comprimento do caminho magnético (m),
  • \mu é a permeabilidade do material (em \mathrm{T\cdot m/A}, que é o mesmo que \mathrm{H/m}),
  • A é a área da seção transversal (m ^2).
  • Fluxo magnético \Phi está ligado à indução por
\Phi=B\,A.
  • A força magnetomotriz necessária (ampère‑espira) obedece à lei análoga: \text{NI}=\Phi\,\mathcal{R}_{\text{total}}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo. Lembre‑se: relutância maior = mais difícil estabelecer fluxo; entreferro de ar tem permeabilidade muito menor que o aço, então costuma dominar a relutância.

Passo 3

Conversões de unidades (muito importante para não errar):
  • l_{\text{núcleo}}=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}ú.
  • A=3\\ \mathrm{cm^{2}}=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}} (porque 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}).
  • l_{\text{ar}}=0,2\\ \mathrm{cm}=0,002\\ \mathrm{m}.
  • Permeabilidade do vácuo (ar aproximado): \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A} (valor que usaremos para o ar).

Passo 4

Cálculo da relutância do núcleo de aço:
Usando \mathcal{R}=\dfrac{l}{\mu A} para o núcleo:
\mathcal{R}_{\text{núcleo}}=\frac{l_{\text{núcleo}}}{\mu_{\text{núcleo}}\,A} =\frac{0,20}{(8\times10^{-3})\cdot(3\times10^{-4})}.úúú
Calcule o denominador:
\mu_{\text{núcleo}}\,A=(8\times10^{-3})\cdot(3\times10^{-4})=2{,}4\times10^{-6}.ú
Agora a divisão:
\mathcal{R}_{\text{núcleo}}=\frac{0,20}{2{,}4\times10^{-6}}=8{,}3333\times10^{4}\\ \mathrm{A/Wb}.ú
Arredondando de forma prática: \mathcal{R}_{\text{núcleo}}\approx8{,}33\times10^{4}\\ \mathrm{A/Wb}ú.

Passo 5

Cálculo da relutância do entreferro de ar:
Usamos a mesma fórmula, com \mu_{0} no lugar de \mu_{\text{núcleo}}ú:
\mathcal{R}_{\text{ar}}=\frac{l_{\text{ar}}}{\mu_{0}\,A} =\frac{0,002}{(4\pi\times10^{-7})\cdot(3\times10^{-4})}.
Calcule o denominador passo a passo:
\mu_{0}\,A=4\pi\times10^{-7}\cdot3\times10^{-4}=12\pi\times10^{-11}\approx3{,}7699\times10^{-10}.
Agora a divisão:
\mathcal{R}_{\text{ar}}=\frac{0,002}{3{,}7699\times10^{-10}}\approx5{,}31\times10^{6}\\ \mathrm{A/Wb}.
Observação didática: veja que \mathcal{R}_{\text{ar}} é muito maior que \mathcal{R}_{\text{núcleo}}ú — entreferro domina a resistência ao fluxo.

Passo 6

Relutância total do circuito magnético (núcleo + entreferro):
As relutâncias em série somam:
\mathcal{R}_{\text{total}}=\mathcal{R}_{\text{núcleo}}+\mathcal{R}_{\text{ar}} \approx8{,}33\times10^{4}+5{,}31\times10^{6}\approx5{,}39\times10^{6}\\ \mathrm{A/Wb}.ú

Passo 7

Cálculo do fluxo \Phi correspondente a B=0,72\\ \mathrm{T}:
\Phi=B\,A=0,72\cdot(3\times10^{-4})=2{,}16\times10^{-4}\\ \mathrm{Wb}.

Passo 8

Cálculo da força magnetomotriz necessária (ampère‑espira = NI):
\text{NI}=\Phi\,\mathcal{R}_{\text{total}}=(2{,}16\times10^{-4})\cdot(5{,}39\times10^{6}).
Multiplicando:
\text{NI}\approx1{,}1638\times10^{3}\\ \text{A·espira}.
Arredondando para valor prático: \text{NI}\approx1{,}16\times10^{3}\\ \text{A·espira} (isto é, cerca de 1{,}16\\ \text{kA·espira}).

Passo 9

Interpretação curta e incentivo:
  • O entreferro de ar aumenta muito a relutância total; por isso a maior parte da ampère‑espira é “gasta” vencendo o entreferro.
  • Se precisares reduzir bastante NI na prática, reduzir o entreferro ou aumentar a área ajudaria muito — ou usar um núcleo com maior permeabilidade.
  • Boa! Você conseguiu acompanhar os passos: converteu unidades, calculou relutâncias e usou a relação NI = ΦR.

Resposta

\mathcal{R}_{\text{núcleo}}\approx8{,}33\times10^{4}\\ \mathrm{A/Wb}ú
\mathcal{R}_{\text{ar}}\approx5{,}31\times10^{6}\\ \mathrm{A/Wb}
\text{NI}\approx1{,}16\times10^{3}\\ \text{A·espira}

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