Para que o número 153X8 seja divisível por 3 e por 9, simultaneamente, o valor de X deve ser igual a
(A) 1 .
(B) 0 .
(C) 2 .
(D) 4 .

Passo 1

O enunciado dá o número \,153X8\, (onde X é um dígito de 0 a 9) e pede: encontrar o valor de X tal que o número seja divisível por 3 e por 9 simultaneamente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O número é \,153X8\,.
  • É necessário que ele seja divisível por 3 e por 9.
  • X é um dígito (ou seja, X\in\{0,1,2,\dots,9\}).

Passo 2

Regra importante (explicação didática):
  • Um inteiro é divisível por 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos for múltipla de 3.
  • Um inteiro é divisível por 9 se, e somente se, a soma de seus dígitos for múltipla de 9.
Por que isso é verdade (intuição simples): 10 \equiv 1\pmod{9} e também 10 \equiv 1\pmod{3}. Então cada casa decimal contribui para o número apenas pelo seu dígito quando reduzido módulo 9 (ou módulo 3). Assim a soma dos dígitos determina a divisibilidade por 3 e por 9.

Passo 3

Observação útil para economizar trabalho: se um número é divisível por 9 ele automaticamente é divisível por 3 (pois 9 é múltiplo de 3). Portanto, para que \,153X8\, seja divisível por ambos, basta exigir que a soma dos dígitos seja múltipla de 9.

Passo 4

Calcular a soma dos dígitos conhecidos, passo a passo:
1+5=6,
6+3=9,
9+8=17.
Logo a soma dos dígitos é \,17+X.

Passo 5

Impor a condição de múltiplo de 9:
17+X \equiv 0 \pmod{9}.
Reduzir 17 módulo 9:
17\equiv 8 \pmod{9},
então
8+X \equiv 0 \pmod{9}\quad\Rightarrow\quad X\equiv 1 \pmod{9}.
Como X é um dígito entre 0 e 9, as únicas possibilidades congruentes a 1 modulo 9 nessa faixa são X=1 (a opção X=10 está fora da faixa de dígitos).

Passo 6

Verificação rápida (checar que satisfaz): se X=1 então a soma dos dígitos é 17+1=18, que é múltiplo de 9. Logo o número \,15318\, é divisível por 9 e, consequentemente, por 3. As outras opções dadas não produzem soma múltipla de 9.

Passo 7

Resumo motivador: a regra da soma dos dígitos resolve isso rapidinho — calcula-se a soma parcial, transforma-se a condição de divisibilidade em uma congruência, e escolhe-se o único dígito possível dentro de 0 a 9. Você já tem essa técnica na ponta da língua pra usar na prova!

Resposta

1

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