Expanda as expressões abaixo.
\left(2 x^{2}-y\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a expressão a ser expandida: \left(2 x^{2}-y\right)^{2}.
O que se pede: desenvolver essa potência, ou seja, escrever a expressão como um polinômio sem parênteses nem expoente (expandir).

Passo 2

Método escolhido: usar a fórmula do quadrado da diferença de dois termos, que é um atalho padrão e rápido. Também é possível fazer multiplicação direta (FOIL), então vou mostrar os dois jeitos para ficar bem claro.

Passo 3

A fórmula do quadrado da diferença é
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicação dessa fórmula (derivação rápida): (a-b)^{2}=(a-b)(a-b). Usando a regra distributiva (FOIL),
(a-b)(a-b)=a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b = a^{2}-2ab+b^{2},
pois a\cdot b e b\cdot a são iguais e somam -2ab.

Passo 4

Identifico os termos a e b na expressão original:
a = 2x^{2},\qquad b = y.

Passo 5

Calculo a^{2}. Usando a regra de potências (c d)^{2}=c^{2}d^{2} e (x^{m})^{n}=x^{mn},
a^{2}=(2x^{2})^{2}=2^{2}\,(x^{2})^{2}=4\,x^{4}.

Passo 6

Calculo o termo -2ab:
-2ab = -2\cdot(2x^{2})\cdot y = -4x^{2}y.
Aqui multiplica-se os coeficientes ( -2\cdot2=-4) e escreve-se as variáveis juntas ( x^{2}y).

Passo 7

Calculo b^{2}:
b^{2}=y^{2}.

Passo 8

Junto os três termos da fórmula para obter a expansão. Não há termos semelhantes a combinar além desses:
(2x^{2}-y)^{2}=4x^{4}-4x^{2}y+y^{2}.

Passo 9

Verificação por multiplicação direta (opcional, só pra confirmar):
(2x^{2}-y)(2x^{2}-y)= \underbrace{2x^{2}\cdot 2x^{2}}_{=4x^{4}} +\underbrace{2x^{2}\cdot(-y)}_{=-2x^{2}y} +\underbrace{(-y)\cdot 2x^{2}}_{=-2x^{2}y} +\underbrace{(-y)\cdot(-y)}_{=y^{2}}
Somando os termos do meio: -2x^{2}y-2x^{2}y=-4x^{2}y, que confirma
4x^{4}-4x^{2}y+y^{2}.

Resposta

4x^{4}-4x^{2}y+y^{2}

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