Expanda as expressões abaixo. \left(2 x^{2}-y\right)^{2}
Passo 1
O enunciado dá a expressão a ser expandida: \left(2 x^{2}-y\right)^{2}.
O que se pede: desenvolver essa potência, ou seja, escrever a expressão como um polinômio sem parênteses nem expoente (expandir).
Passo 2
Método escolhido: usar a fórmula do quadrado da diferença de dois termos, que é um atalho padrão e rápido. Também é possível fazer multiplicação direta (FOIL), então vou mostrar os dois jeitos para ficar bem claro.
Passo 3
A fórmula do quadrado da diferença é
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicação dessa fórmula (derivação rápida): (a-b)^{2}=(a-b)(a-b). Usando a regra distributiva (FOIL),
(a-b)(a-b)=a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b = a^{2}-2ab+b^{2},
pois a\cdot b e b\cdot a são iguais e somam -2ab.
Passo 4
Identifico os termos a e b na expressão original:
a = 2x^{2},\qquad b = y.
Passo 5
Calculo a^{2}. Usando a regra de potências (c d)^{2}=c^{2}d^{2} e (x^{m})^{n}=x^{mn},
a^{2}=(2x^{2})^{2}=2^{2}\,(x^{2})^{2}=4\,x^{4}.
Passo 6
Calculo o termo -2ab:
-2ab = -2\cdot(2x^{2})\cdot y = -4x^{2}y.
Aqui multiplica-se os coeficientes (-2\cdot2=-4) e escreve-se as variáveis juntas (x^{2}y).
Passo 7
Calculo b^{2}:
b^{2}=y^{2}.
Passo 8
Junto os três termos da fórmula para obter a expansão. Não há termos semelhantes a combinar além desses:
(2x^{2}-y)^{2}=4x^{4}-4x^{2}y+y^{2}.
Passo 9
Verificação por multiplicação direta (opcional, só pra confirmar):