O número B de bactérias num dado local após t horas é dado por
B=100 e^{0,693 t}
(a) Qual foi o número inicial de bactérias presentes?
(b) Quantas bactérias estão presentes após 6 horas?

Passo 1

O enunciado dá a população de bactérias em função do tempo t (em horas):
B = 100 e^{0,693 t}.
As perguntas são:
(a) qual foi o número inicial de bactérias (isto é, B quando t=0)?
(b) quantas bactérias há após t=6 horas?
Informações relevantes fornecidas:
\text{Fórmula: }B(t)=100 e^{0,693 t},\qquad t \text{ em horas.}ó

Passo 2

Entendendo a função e o que é pedir o “número inicial”.
“O número inicial” significa avaliar B(t) em t=0. Antes de calcular, um lembrete útil sobre a exponencial: para qualquer base e vale e^{0}=1. Então, para encontrar B(0) fazemos a substituição t=0.

Passo 3

Calcule B(0) passo a passo:
B(0)=100 e^{0,693\cdot 0}.
Como 0,693\cdot 0=0, temos
B(0)=100 e^{0}=100\cdot 1=100.
Portanto o número inicial de bactérias é 100.

Passo 4

Agora vamos calcular B(6). Substituímos t=6 na fórmula:
B(6)=100 e^{0,693\cdot 6}=100 e^{4,158}.
Para avaliar e^{4,158} sem calculadora há um truque prático: 0,693 é aproximadamente \ln 2 (porque \ln 2\approx 0,693147\ldots). Assim e^{0,693}\approx 2. Usando isso,
e^{4,158} = \big(e^{0,693}\big)^{6} \approx 2^{6}.
E 2^{6}=64. Portanto, aproximando pela igualdade acima,
B(6)\approx 100\cdot 64 = 6400.
Esse método é exatamente o que se faz na prova quando um coeficiente próximo de \ln 2 aparece: reconhece-se que a população praticamente dobra a cada hora, logo em 6 horas foram 2^{6} vezes mais bactérias.

Passo 5

Observação de precisão (opcional, para quem quiser saber a diferença): se calcularmos e^{4,158} com mais casas obtém-se cerca de 63{,}95, e então 100\cdot 63{,}95\approx 6395. A diferença entre 6395 e 6400 é pequena; a aproximação 6400 é perfeitamente aceitável em exercícios sem calculadora e enfatiza a interpretação de “duplica por hora”.

Resposta

(a) 100
(b) \approx 6400

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