O sistema de ar-condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de
, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar-condicionado, é
em que
é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e
é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que
e
,
(a) escreva a expressão de
para esse problema;
(b) calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado;
(c) esboce o gráfico de
.
(a) escreva a expressão de
(b) calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado;
(c) esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função que descreve a temperatura interna do ônibus em função do tempo desde a quebra do ar-condicionado:
e fornece os valores
e
As perguntas são:
- (a) Escrever a expressão de
com os valores dados. - (b) Calcular a temperatura interna após 4 horas.
- (c) Esboçar o gráfico de
.
Passo 2
Substituímos
e
na fórmula geral. Faça a conta dentro do parêntese:
Logo a expressão fica
É mais agradável reescrever organizando o termo constante primeiro:
Passo 3
Antes de calcular valores, vamos entender o que significa o termo
.
- Para
temos , então o termo multiplicado por dá e , que é a temperatura inicial correta. - Quando
cresce, é uma função exponencial decrescente (porque o expoente é negativo), ou seja, tende a quando . - Portanto,
. Isso significa que é uma assíntota horizontal: a temperatura interna vai aproximar-se de ao longo do tempo.
Passo 4
Agora calculamos explicitamente
. Substitua
na expressão encontrada:
Calcule passo a passo:
Portanto, após 4 horas a temperatura interna é
Passo 5
Vamos estudar o comportamento da curva (isso ajuda a esboçar o gráfico com segurança). Para saber se
cresce ou decresce, derivamos. Lembre que a derivada de
em relação a
é
, porque diferenciamos pela regra da cadeia e
aparece ao derivar a base 10.
No nosso caso
, então
. Derivando
temos
Organizando os sinais:
Observações importantes:
-
e para todo . - Assim
para todo . Isso quer dizer que é estritamente crescente: a temperatura interna sobe com o tempo.
Isto bate com a intuição: o ônibus sai frio () e vai se aquecendo até o externo ( ).
Passo 6
Para saber a curvatura (se é para cima ou para baixo), podemos calcular a segunda derivada. Diferenciando
:
ou seja
Aqui
e
, logo
para todo
. Isso significa que a curva é côncava para baixo (aumenta, mas com taxa de crescimento diminuindo), ou seja, sobe rápido no começo e depois vai “achatando” aproximando-se assintoticamente de
.
Passo 7
Reunindo pontos-chave para desenhar o esboço:
- Ponto inicial:
. Marque . - Valor em
: . Marque . - Em
(apenas para ver que já está bem perto): , então . - Assíntota horizontal:
. - Função definida para
(tempo desde a quebra). É crescente e côncava para baixo.
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe eixos: eixo horizontal
(horas, a partir de ) e eixo vertical (temperatura em ). - Marque o ponto inicial
. - Marque o ponto
e talvez para orientar a forma. - Trace uma curva suave que parte de
, sobe rapidamente no começo e vai se aproximando de sem ultrapassá-la. Indique a linha horizontal como assíntota. - Garanta que a curva seja sempre crescente e com curvatura para baixo (achatando conforme se aproxima de
).
Dica motivadora: você não precisa desenhar muitos pontos; com o ponto inicial, um ponto intermediário (por ex.
) e a assíntota já dá para esboçar o formato corretamente.
Resposta
(a)
(b)
(c) Gráfico: curva para que parte de
, é crescente e côncava para baixo, aproxima-se assintoticamente de
(por exemplo
,
).
(b)
(c) Gráfico: curva para