O sistema de ar-condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar-condicionado, é
T(t)=\left(T_{0}-T_{\mathrm{ext}}\right) \cdot 10^{-t / 4}+T_{\mathrm{ext}},
em que T_{0} é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e T_{\text {ext }} é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T_{0}=21^{\circ} \mathrm{C} e T_{\text {ext }}=30^{\circ} \mathrm{C},
(a) escreva a expressão de T(t) para esse problema;
(b) calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar-condicionado;
(c) esboce o gráfico de T(t).

Passo 1

O enunciado dá a função que descreve a temperatura interna do ônibus em função do tempo desde a quebra do ar-condicionado:
T(t)=\left(T_{0}-T_{\mathrm{ext}}\right)\cdot 10^{-t/4}+T_{\mathrm{ext}},
e fornece os valores \,T_{0}=21^\circ\mathrm{C}\, e \,T_{\mathrm{ext}}=30^\circ\mathrm{C}.
As perguntas são:
  1. (a) Escrever a expressão de T(t) com os valores dados.
  2. (b) Calcular a temperatura interna após 4 horas.
  3. (c) Esboçar o gráfico de T(t).

Passo 2

Substituímos \,T_{0}=21^\circ\mathrm{C}\, e \,T_{\mathrm{ext}}=30^\circ\mathrm{C}\, na fórmula geral. Faça a conta dentro do parêntese:
T_{0}-T_{\mathrm{ext}}=21-30=-9.
Logo a expressão fica
T(t)=-9\cdot 10^{-t/4}+30.
É mais agradável reescrever organizando o termo constante primeiro:
T(t)=30-9\cdot 10^{-t/4}.

Passo 3

Antes de calcular valores, vamos entender o que significa o termo \,10^{-t/4}.
  • Para t=0 temos \,10^{0}=1, então o termo multiplicado por -9 -9 e T(0)=30-9=21^\circ\mathrm{C}, que é a temperatura inicial correta.
  • Quando t cresce, \,10^{-t/4} é uma função exponencial decrescente (porque o expoente é negativo), ou seja, tende a 0 quando t\to\infty.
  • Portanto, \displaystyle\lim_{t\to\infty}T(t)=30-9\cdot 0=30^\circ\mathrm{C}. Isso significa que y=30^\circ\mathrm{C} é uma assíntota horizontal: a temperatura interna vai aproximar-se de 30^\circ\mathrm{C} ao longo do tempo.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente T(4). Substitua t=4 na expressão encontrada:
T(4)=30-9\cdot 10^{-4/4}=30-9\cdot 10^{-1}.
Calcule passo a passo:
10^{-1}=0{,}1,
9\cdot 0{,}1=0{,}9,
30-0{,}9=29{,}1.
Portanto, após 4 horas a temperatura interna é \,29{,}1^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Vamos estudar o comportamento da curva (isso ajuda a esboçar o gráfico com segurança). Para saber se T(t) cresce ou decresce, derivamos. Lembre que a derivada de 10^{u} em relação a t é 10^{u}\cdot \ln(10)\cdot u', porque diferenciamos pela regra da cadeia e \ln(10) aparece ao derivar a base 10.
No nosso caso u=-t/4, então u'=-1/4. Derivando T(t)=30-9\cdot 10^{-t/4} temos
T'(t)=-9\cdot\bigl(10^{-t/4}\cdot \ln(10)\cdot(-1/4)\bigr).
Organizando os sinais:
T'(t)=\frac{9\ln(10)}{4}\cdot 10^{-t/4}.
Observações importantes:
  • \ln(10)>0 e 10^{-t/4}>0 para todo t.
  • Assim T'(t)>0 para todo t\ge 0. Isso quer dizer que T(t) é estritamente crescente: a temperatura interna sobe com o tempo.
    Isto bate com a intuição: o ônibus sai frio ( 21^\circ\mathrm{C}) e vai se aquecendo até o externo ( 30^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Para saber a curvatura (se é para cima ou para baixo), podemos calcular a segunda derivada. Diferenciando T'(t):
T''(t)=\frac{9\ln(10)}{4}\cdot\bigl(10^{-t/4}\cdot \ln(10)\cdot(-1/4)\bigr)
ou seja
T''(t)=-\frac{9(\ln(10))^{2}}{16}\cdot 10^{-t/4}.
Aqui -\frac{9(\ln(10))^{2}}{16}<0 e 10^{-t/4}>0, logo T''(t)<0 para todo t. Isso significa que a curva é côncava para baixo (aumenta, mas com taxa de crescimento diminuindo), ou seja, sobe rápido no começo e depois vai “achatando” aproximando-se assintoticamente de 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Reunindo pontos-chave para desenhar o esboço:
  • Ponto inicial: T(0)=21^\circ\mathrm{C}. Marque (0,21^\circ\mathrm{C}).
  • Valor em t=4: T(4)=29{,}1^\circ\mathrm{C}. Marque (4,29{,}1^\circ\mathrm{C}).
  • Em t=8 (apenas para ver que já está bem perto): 10^{-8/4}=10^{-2}=0{,}01, então T(8)=30-9\cdot 0{,}01=30-0{,}09=29{,}91^\circ\mathrm{C}.
  • Assíntota horizontal: y=30^\circ\mathrm{C}.
  • Função definida para t\ge 0 (tempo desde a quebra). É crescente e côncava para baixo.

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe eixos: eixo horizontal t (horas, a partir de 0) e eixo vertical T (temperatura em ^\circ\mathrm{C}).
  2. Marque o ponto inicial (0,21^\circ\mathrm{C}).
  3. Marque o ponto (4,29{,}1^\circ\mathrm{C}) e talvez (8,29{,}91^\circ\mathrm{C}) para orientar a forma.
  4. Trace uma curva suave que parte de (0,21), sobe rapidamente no começo e vai se aproximando de y=30^\circ\mathrm{C} sem ultrapassá-la. Indique a linha horizontal y=30^\circ\mathrm{C} como assíntota.
  5. Garanta que a curva seja sempre crescente e com curvatura para baixo (achatando conforme se aproxima de 30^\circ\mathrm{C}).
Dica motivadora: você não precisa desenhar muitos pontos; com o ponto inicial, um ponto intermediário (por ex. t=4) e a assíntota já dá para esboçar o formato corretamente.

Resposta

(a) T(t)=30-9\cdot 10^{-t/4}.
(b) T(4)=29{,}1^\circ\mathrm{C}.
(c) Gráfico: curva para t\ge0 que parte de (0,21^\circ\mathrm{C}), é crescente e côncava para baixo, aproxima-se assintoticamente de y=30^\circ\mathrm{C} (por exemplo T(4)=29{,}1^\circ\mathrm{C}, T(8)=29{,}91^\circ\mathrm{C}).

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