Segundo a lei de Moore, o número de transistores em um chip de computador dobra a cada dois anos. Entre 1971 e 2014, o número de transistores, N, em um chip foi modelado por
em que
representa o ano.
(a) Determine o número aproximado de transistores em um chip no ano de 2001.
(b) Determine em que ano o número de transistores atingiu 2, 300, 000, 000.
(a) Determine o número aproximado de transistores em um chip no ano de 2001.
(b) Determine em que ano o número de transistores atingiu 2, 300, 000, 000.
Passo 1
O enunciado dá a seguinte fórmula para o número de transistores em um chip no ano
:
As perguntas são duas:
(a) determinar o número aproximado de transistores em um chip no ano ;
(b) determinar em que ano o número de transistores atingiu .
(a) determinar o número aproximado de transistores em um chip no ano
(b) determinar em que ano o número de transistores atingiu
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Explicação do que significa a fórmula (aprender para a prova). A expressão
representa crescimento exponencial com base
: toda vez que
aumenta de
unidades (dois anos), o expoente aumenta de
e o fator
dobra. A constante
é o valor em
. Para avaliar
substituímos
e calculamos a potência de
correspondente e depois multiplicamos por
.
Passo 3
Resolvendo (a). Substituímos
na expressão:
Calcule o expoente:
Logo
Passo 4
Calcule
. Sabemos que
e
, então
Agora multiplicamos por
. Faço a conta passo a passo:
Calcule
:
Multiplicando por
:
Portanto o número aproximado de transistores em 2001 é
.
Passo 5
Resolvendo (b). Queremos
tal que
Dividimos ambos os lados por
:
Faço a divisão observando que
e
, então
Logo precisamos resolver
Passo 6
Para isolar
aplicamos logaritmo em base
(ou qualquer outra base com mudança de base). Usando log base
:
Para calcular numericamente usamos a mudança de base:
. Sabemos
, então
Multiplicando por
:
Agora isolamos
:
Passo 7
Interpretação do resultado (como usar isso na prova). O modelo dá
, ou seja, a quantidade desejada foi atingida durante o ano
, por volta de
fração do ano. Para converter em mês/dia:
meses → cerca de 10 meses + 0{,}36 de mês ≈ 10 meses e 11 dias, isto é, por volta de 11 de novembro de 2010. Se a questão pede apenas o ano inteiro em que o número foi atingido ou ultrapassado, o primeiro ano em que o valor já foi ultrapassado é
(pois ao avaliar
obtemos um valor maior que
).
Resposta
(a)
transistores.
(b) (ou seja, no final de 2010; ano inteiro em que já ultrapassa:
).
(b)