Segundo a lei de Moore, o número de transistores em um chip de computador dobra a cada dois anos. Entre 1971 e 2014, o número de transistores, N, em um chip foi modelado por
N(t)=2300 \cdot 2^{(t-1971) / 2}
em que t representa o ano.
(a) Determine o número aproximado de transistores em um chip no ano de 2001.
(b) Determine em que ano o número de transistores atingiu 2, 300, 000, 000.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte fórmula para o número de transistores em um chip no ano t:
N(t)=2300\cdot 2^{(t-1971)/2}.
As perguntas são duas:
(a) determinar o número aproximado de transistores em um chip no ano 2001;
(b) determinar em que ano o número de transistores atingiu 2\,300\,000\,000.
Informações relevantes dadas:
\text{constante inicial: }2300\quad\text{(número em 1971)},ú
\text{o fator }2^{(t-1971)/2}\text{ indica que o número dobra a cada 2 anos},ú
\text{o ano pedido em (a) é }t=2001,é
\text{o valor pedido em (b) é }N(t)=2\,300\,000\,000.é

Passo 2

Explicação do que significa a fórmula (aprender para a prova). A expressão \,2^{(t-1971)/2}\, representa crescimento exponencial com base 2: toda vez que t aumenta de 2 unidades (dois anos), o expoente aumenta de 1 e o fator 2^{(\cdot)} dobra. A constante 2300 é o valor em t=1971. Para avaliar N(t) substituímos t e calculamos a potência de 2 correspondente e depois multiplicamos por 2300.

Passo 3

Resolvendo (a). Substituímos t=2001 na expressão:
N(2001)=2300\cdot 2^{(2001-1971)/2}.
Calcule o expoente:
\frac{2001-1971}{2}=\frac{30}{2}=15.
Logo
N(2001)=2300\cdot 2^{15}.

Passo 4

Calcule 2^{15}. Sabemos que 2^{10}=1024 e 2^{5}=32, então
2^{15}=2^{10}\cdot 2^{5}=1024\cdot 32=32\,768.
Agora multiplicamos por 2300. Faço a conta passo a passo:
2300\cdot 32\,768 = (2300\cdot 32\,768) = (23\cdot 32\,768)\cdot 100.
Calcule 23\cdot 32\,768:
20\cdot 32\,768 = 655\,360,\qquad 3\cdot 32\,768 = 98\,304,
20\cdot 32\,768 + 3\cdot 32\,768 = 655\,360 + 98\,304 = 753\,664.
Multiplicando por 100:
2300\cdot 32\,768 = 75\,366\,400.
Portanto o número aproximado de transistores em 2001 é 75\,366\,400.

Passo 5

Resolvendo (b). Queremos t tal que
2300\cdot 2^{(t-1971)/2} = 2\,300\,000\,000.
Dividimos ambos os lados por 2300:
2^{(t-1971)/2} = \frac{2\,300\,000\,000}{2300}.
Faço a divisão observando que 2\,300\,000\,000 = 2{,}3\times 10^{9} e 2300 = 2{,}3\times 10^{3}, então
\frac{2\,300\,000\,000}{2300} = 10^{6} = 1\,000\,000.
Logo precisamos resolver
2^{(t-1971)/2} = 10^{6}.

Passo 6

Para isolar t aplicamos logaritmo em base 2 (ou qualquer outra base com mudança de base). Usando log base 2:
\frac{t-1971}{2} = \log_{2}(10^{6}) = 6\log_{2}(10).
Para calcular numericamente usamos a mudança de base: \log_{2}(10)=1/\log_{10}(2). Sabemos \log_{10}(2)\approx 0{,}30103, então
\log_{2}(10)\approx \frac{1}{0{,}30103}\approx 3{,}32193.
Multiplicando por 6:
\frac{t-1971}{2} \approx 6\cdot 3{,}32193 \approx 19{,}9316.
Agora isolamos t:
t-1971 \approx 2\cdot 19{,}9316 = 39{,}8632,
t \approx 1971 + 39{,}8632 = 2010{,}8632.

Passo 7

Interpretação do resultado (como usar isso na prova). O modelo dá t\approx 2010{,}863, ou seja, a quantidade desejada foi atingida durante o ano 2010, por volta de 0{,}863 fração do ano. Para converter em mês/dia: 0{,}863\times 12\approx 10{,}36 meses → cerca de 10 meses + 0{,}36 de mês ≈ 10 meses e 11 dias, isto é, por volta de 11 de novembro de 2010. Se a questão pede apenas o ano inteiro em que o número foi atingido ou ultrapassado, o primeiro ano em que o valor já foi ultrapassado é 2011 (pois ao avaliar t=2011 obtemos um valor maior que 2{,}300{,}000{,}000).

Resposta

(a) N(2001)=75\,366\,400 transistores.
(b) t\approx 2010,863 (ou seja, no final de 2010; ano inteiro em que já ultrapassa: 2011).

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