O número complexo 2+j 4 é uma raiz da equação quadrática x^{2}+b x+c=0, onde b e c são números reais. Determine b e c.

Passo 1

O enunciado dá que um dos zeros (raízes) da equação quadrática x^{2}+b x+c=0 é \,2+j4, onde b e c são números reais. O que se pede é determinar os valores de b e c.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é \,x^{2}+b x+c=0.
  • Uma raiz dada é \,2+j4.
  • Os coeficientes b e c são reais.
  • A incógnita é encontrar b e c.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para um polinômio com coeficientes reais, se uma raiz é um número complexo não real z, então o seu conjugado complexo \overline{z} também é raiz. O conjugado de um número complexo \,a+jb é \,a-jb. Isto vem do fato de que os coeficientes reais exigem que as partes imaginárias se cancelem quando se expandem as expressões que definem o polinômio.
Aplicando ao nosso caso: como b e c são reais e uma raiz é \,2+j4, então a outra raiz deve ser o conjugado
2-j4.

Passo 3

Relembrando Vieta para uma quadrática monica (coeficiente de x^{2} igual a 1) — teoria passo a passo:
  • Se as raízes são \,r_{1} e \,r_{2}, então a soma das raízes vale \,r_{1}+r_{2}=-b.
  • O produto das raízes vale \,r_{1}r_{2}=c.
Aqui: r_{1}=2+j4 e r_{2}=2-j4. Vamos usar essas fórmulas para obter b e c.

Passo 4

Cálculo da soma das raízes (detalhando cada operação):
r_{1}+r_{2}=(2+j4)+(2-j4).
Somando as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
  • Partes reais: 2+2=4.
  • Partes imaginárias: j4-j4=0.
    Logo
r_{1}+r_{2}=4.
Pela relação de Vieta \,r_{1}+r_{2}=-b. Assim
-b=4 \quad\Rightarrow\quad b=-4.

Passo 5

Cálculo do produto das raízes (detalhando e explicando a identidade usada):
r_{1}r_{2}=(2+j4)(2-j4).
Essa é a multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado. Em geral, para a real e b real vale
(a+jb)(a-jb)=a^{2}+(b)^{2},
porque j^{2}=-1. Aplicando aqui com a=2 e b=4:
(2+j4)(2-j4)=2^{2}+4^{2}=4+16=20.
Pela relação de Vieta r_{1}r_{2}=c. Logo
c=20.

Passo 6

Resumo final da dedução (sem repetir passo a passo):
  • Encontrou-se \,b=-4.
  • Encontrou-se \,c=20.
Força aí — deu para ver que, com a raiz complexa dada, a conjugada vem de brinde por causa dos coeficientes reais, e depois é só aplicar as fórmulas de soma e produto das raízes (Vieta).

Resposta

b=-4
c=20

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