O número complexo
é uma raiz da equação quadrática
, onde
e
são números reais. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado dá que um dos zeros (raízes) da equação quadrática
é
, onde
e
são números reais. O que se pede é determinar os valores de
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação é
. - Uma raiz dada é
. - Os coeficientes
e são reais. - A incógnita é encontrar
e .
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para um polinômio com coeficientes reais, se uma raiz é um número complexo não real
, então o seu conjugado complexo
também é raiz. O conjugado de um número complexo
é
. Isto vem do fato de que os coeficientes reais exigem que as partes imaginárias se cancelem quando se expandem as expressões que definem o polinômio.
Aplicando ao nosso caso: como
e
são reais e uma raiz é
, então a outra raiz deve ser o conjugado
Passo 3
Relembrando Vieta para uma quadrática monica (coeficiente de
igual a
) — teoria passo a passo:
- Se as raízes são
e , então a soma das raízes vale . - O produto das raízes vale
.
Aqui:
e
. Vamos usar essas fórmulas para obter
e
.
Passo 4
Cálculo da soma das raízes (detalhando cada operação):
Somando as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
- Partes reais:
. - Partes imaginárias:
.
Logo
Pela relação de Vieta
. Assim
Passo 5
Cálculo do produto das raízes (detalhando e explicando a identidade usada):
Essa é a multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado. Em geral, para
real e
real vale
porque
. Aplicando aqui com
e
:
Pela relação de Vieta
. Logo
Passo 6
Resumo final da dedução (sem repetir passo a passo):
- Encontrou-se
. - Encontrou-se
.
Força aí — deu para ver que, com a raiz complexa dada, a conjugada vem de brinde por causa dos coeficientes reais, e depois é só aplicar as fórmulas de soma e produto das raízes (Vieta).