QUESTÃO 03 (Conservação da Energia Mecânica com Mola)

Um bloco de massa \boldsymbol{m}=\mathbf{0 , 5 0 ~ k g} é pressionado contra uma mola horizontal de constante elástica \boldsymbol{k}=\mathbf{8 0 0} \mathbf{N} / \boldsymbol{m}, comprimindo-a em 0,10 m. O sistema é liberado a partir do repouso sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa (sem atrito). Ao abandonar a mola, o bloco sobe por uma rampa lisa e atinge uma altura máxima \boldsymbol{h}. O valor dessa altura vertical \boldsymbol{h} é:
a) 0,40 m
b) 0,80 m
c) 1,20 m
d) 1,60 \mathrm{~m}
e) 2,00 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados fornecidos:
  • Massa do bloco: m=0,50\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=800\\ \mathrm{N/m}.
  • Compressão inicial da mola: x=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Superfície horizontal e rampa lisas (sem atrito).
  • O sistema parte do repouso.
Pergunta:
  • Qual a altura máxima vertical h que o bloco atinge depois de ser lançado pela mola?

Passo 2

Entendendo as formas de energia envolvidas (a teoria que precisa dominar).
Quando a mola está comprimida existe energia elástica armazenada nela; essa energia pode ser transformada em energia cinética do bloco e, depois, em energia potencial gravitacional quando o bloco sobe a rampa.
As fórmulas essenciais são:
  • Energia elástica (armazenada na mola): U_{\text{mola}}=\tfrac{1}{2}k x^{2},
onde k é a constante da mola em \mathrm{N/m} e x é a compressão em \mathrm{m}.
  • Energia cinética do bloco: K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa em \mathrm{kg} e v a velocidade em \mathrm{m/s}.
  • Energia potencial gravitacional (altura h): U_{g}=m g h,
onde g é a aceleração da gravidade (usualmente g\approx9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} ou, para contas rápidas, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}).
Justificativa física para usar conservação de energia:
  • Não há atrito nem outras forças dissipativas, e o bloco parte do repouso. Então a energia mecânica total é conservada.
  • No ponto de máxima altura a velocidade do bloco é zero ( v=0), portanto toda a energia inicial que estava na mola foi convertida em energia potencial gravitacional.

Passo 3

Aplicando a conservação de energia entre o instante inicial (mola comprimida, bloco em repouso) e o instante de máxima altura (bloco momentaneamente parado):
Energia inicial = energia final
\tfrac{1}{2}k x^{2} = m g h.
Isolando h:
h=\frac{\tfrac{1}{2}k x^{2}}{m g}=\frac{k x^{2}}{2 m g}.
Aqui:
  • k é conhecido,
  • x é conhecido,
  • m é conhecido,
  • g é a aceleração da gravidade que escolhemos para calcular.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos na expressão \displaystyle h=\frac{k x^{2}}{2 m g}.
Primeiro calcule o numerador \,k x^{2}\,:
k x^{2}=800\cdot(0,10)^{2}=800\cdot0,01=8.
O denominador é 2 m g. Usando g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} (aproximação prática que facilita cálculo de prova):
2 m g = 2\cdot0,50\cdot10 = 10.
Portanto,
h=\frac{8}{10}=0,80\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Comentário sobre a escolha de g e verificação rápida:
Se for usado g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} (valor mais preciso), o denominador seria
2 m g = 2\cdot0,50\cdot9,8 = 9,8,
e então
h=\frac{8}{9,8}\approx0,816\\ \mathrm{m},
que é muito próximo de 0,80\\ \mathrm{m}. Portanto a opção 0,80\\ \mathrm{m} é a que corresponde ao resultado prático e às alternativas fornecidas.

Passo 6

Resumo rápido e motivador: a mola dá ao bloco uma energia de \tfrac{1}{2}k x^{2} que, por conservação da energia mecânica sem perdas, vira energia potencial mgh. Fazendo as contas chegamos ao valor da altura que aparece nas alternativas.

Resposta

b) 0,80\\ \mathrm{m}

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