Um número complexo Z possui módulo 4 e argumento \theta=90^{\circ}. Determine o conjugado de Z na forma retangular.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O número complexo Z tem módulo 4.
  • O argumento de Z é \theta=90^\circ.
O que é pedido:
  • Determinar o conjugado de Z na forma retangular (ou seja, na forma a+ib).

Passo 2

Converter o número complexo da forma polar para a forma retangular. A forma polar de um complexo é
Z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
onde r é o módulo e \theta é o argumento. Aqui r=4 e \theta=90^\circ. Substituindo:
Z = 4\big(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ\big).
Usando os valores trigonométricos básicos \cos 90^\circ = 0 e \sin 90^\circ = 1, obtemos
Z = 4(0 + i\cdot 1) = 4i.
Portanto, na forma retangular Z = 0 + 4i.

Passo 3

Definir o conjugado em forma retangular. Se um número complexo é Z = a + ib, o conjugado é
\overline{Z} = a - ib.
Aplicando isso a Z = 0 + 4i, temos
\overline{Z} = 0 - 4i = -4i.

Passo 4

Verificação curta (opcional para confirmar entendimento): na forma polar o conjugado corresponde a mudar o sinal do argumento, ou seja
\overline{Z} = 4\big(\cos(-90^\circ) + i\sin(-90^\circ)\big).
Como \cos(-90^\circ)=0 e \sin(-90^\circ)=-1, obtemos novamente
\overline{Z} = 4(0 - i) = -4i,
confirmando o resultado.

Resposta

-4i

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