Escreva a forma algébrica z=a+b i dos seguintes números:
z=\sqrt{2}\left[\cos \left(225^{\circ}\right)+i \operatorname{sen}\left(225^{\circ}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma algébrica z=a+bi o número complexo dado:
z=\sqrt{2}\bigl[\cos\bigl(225^\circ\bigr)+i\,\sin\bigl(225^\circ\bigr)\bigr].
Informações importantes fornecidas:
  • O módulo (ou raio) é r=\sqrt{2}.
  • O argumento (ângulo) é \theta=225^\circ.
  • A forma trigonométrica geral de um complexo é z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr).

Passo 2

Regra de conversão para a forma algébrica: se
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr),
então os coeficientes da forma a+bi são
a=r\cos\theta,\qquad b=r\sin\theta.
Explicando: a é a parte real do complexo, obtida multiplicando o módulo pelo cosseno do ângulo; b é a parte imaginária (o coeficiente que multiplica i), obtida multiplicando o módulo pelo seno do ângulo.

Passo 3

Calcular \cos\bigl(225^\circ\bigr) e \sin\bigl(225^\circ\bigr).
Observação geométrica rápida: 225^\circ=180^\circ+45^\circ. Ao acrescentar 45^\circ a 180^\circ estamos no terceiro quadrante do círculo trigonométrico, onde cosseno e seno são ambos negativos. Usando as identidades
\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha,
com \alpha=45^\circ e sabendo que
\cos\bigl(45^\circ\bigr)=\sin\bigl(45^\circ\bigr)=\frac{\sqrt{2}}{2},
temos
\cos\bigl(225^\circ\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\bigl(225^\circ\bigr)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Calcular a e b usando r=\sqrt{2}.
Para a parte real:
a=r\cos\theta=\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}=-\frac{2}{2}=-1.
Para a parte imaginária (coeficiente de i):
b=r\sin\theta=\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1.
Portanto
z=a+bi=-1-1\cdot i=-1-i.

Resposta

z=-1-i

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