Calcule e represente z no plano complexo:
z=\left|\frac{i^{545}}{1+i}\right|

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular
z=\left|\frac{i^{545}}{1+i}\right|
e depois representar esse z no plano complexo. Informações relevantes dadas:
  • A expressão envolve potências de i (unidade imaginária) e o número complexo 1+i.
  • O módulo (valor absoluto) de um número complexo será usado: para w=a+bi vale |w|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Passo 2

Reduzir a potência i^{545} usando a periodicidade de i. Lembrando a sequência:
i^{1}=i,\qquad i^{2}=-1,\qquad i^{3}=-i,\qquad i^{4}=1,
e a partir daí a sequência se repete com período 4. Para 545 calculamos o resto da divisão por 4:
545 = 4\cdot136 + 1,
portanto
i^{545} = (i^{4})^{136}\cdot i^{1} = 1^{136}\cdot i = i.

Passo 3

Calcular o módulo do numerador \,i^{545}\,. Como achamos que i^{545}=i, então
|i^{545}| = |i| = \sqrt{0^{2}+1^{2}} = 1.
Explicação rápida: i no plano complexo é o ponto (0,1), então seu módulo é a distância à origem, que é 1.

Passo 4

Calcular o módulo do denominador \,1+i\,. Escrevendo 1+i como (1,1) no plano,
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Isso é feito sem calculadora, pois é uma raiz exata: \sqrt{2}.

Passo 5

Usar a propriedade do módulo para um quociente: para complexos u e v\neq 0 vale
\left|\frac{u}{v}\right|=\frac{|u|}{|v|}.
Aplicando ao nosso caso:
z=\left|\frac{i^{545}}{1+i}\right|=\frac{|i^{545}|}{|1+i|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Observação: \dfrac{1}{\sqrt{2}} pode ser racionalizado para \dfrac{\sqrt{2}}{2}, forma comum em respostas.

Passo 6

Representação de z no plano complexo: o valor z é um número real positivo (é o módulo), logo corresponde ao ponto sobre o eixo real em
\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,0\right).
Para desenhar: marcar no eixo real a coordenada \dfrac{\sqrt{2}}{2} (aproximadamente 0{,}707) e traçar um ponto ali.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}
\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},0\right)

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