Calcule e represente z no plano complexo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular
e depois representar esse
no plano complexo. Informações relevantes dadas:
- A expressão envolve potências de
(unidade imaginária) e o número complexo . - O módulo (valor absoluto) de um número complexo será usado: para
vale .
Passo 2
Reduzir a potência
usando a periodicidade de
. Lembrando a sequência:
e a partir daí a sequência se repete com período
. Para
calculamos o resto da divisão por
:
portanto
Passo 3
Calcular o módulo do numerador
. Como achamos que
, então
Explicação rápida:
no plano complexo é o ponto
, então seu módulo é a distância à origem, que é
.
Passo 4
Calcular o módulo do denominador
. Escrevendo
como
no plano,
Isso é feito sem calculadora, pois é uma raiz exata:
.
Passo 5
Usar a propriedade do módulo para um quociente: para complexos
e
vale
Aplicando ao nosso caso:
Observação:
pode ser racionalizado para
, forma comum em respostas.
Passo 6
Representação de
no plano complexo: o valor
é um número real positivo (é o módulo), logo corresponde ao ponto sobre o eixo real em
Para desenhar: marcar no eixo real a coordenada
(aproximadamente
) e traçar um ponto ali.