A que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 o produto 11 \cdot 18 \cdot 2322 \cdot 13 \cdot 19 ?

Passo 1

O enunciado pede: “A que número entre 0 e 6 é congruente módulo 7 o produto 11\cdot18\cdot2322\cdot13\cdot19?”\n
Informações dadas:
11,\;18,\;2322,\;13,\;19
e o módulo é 7. O objetivo é encontrar um número r com 0\le r\le6 tal que
11\cdot18\cdot2322\cdot13\cdot19 \equiv r \pmod{7}.

Passo 2

Breve explicação de como vamos trabalhar (sem pular etapas). Definição e propriedade úteis:
\text{Para inteiros }a,b\text{ e }m\ge1,\; a\equiv b\pmod{m}\iff m\mid(a-b).
Propriedade fundamental que usamos aqui:
\text{se }a\equiv a'\pmod{m}\text{ e }b\equiv b'\pmod{m}\text{ então }ab\equiv a'b'\pmod{m}.ã
Isto significa que, para calcular o produto módulo 7, dá para substituir cada fator pelo seu resto ao dividir por 7 (ou por um representante congruente entre 0 e 6), e multiplicar esses restos, reduzindo sempre que quiser para manter números pequenos. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Reduzimos cada fator módulo 7, explicando as contas de resto:
11 = 7+4 \Rightarrow 11\equiv4\pmod{7}.
18 = 14+4 \Rightarrow 18\equiv4\pmod{7}.
Para 2322 calculo o quociente e o resto: 7\cdot331=2317 e
2322-2317=5 \Rightarrow 2322\equiv5\pmod{7}.
13 = 7+6 \Rightarrow 13\equiv6\pmod{7}.
19 = 14+5 \Rightarrow 19\equiv5\pmod{7}.
Resumo dos resíduos:
11\equiv4,\;18\equiv4,\;2322\equiv5,\;13\equiv6,\;19\equiv5 \pmod{7}.

Passo 4

Agora multiplicamos os restos, reduzindo módulo 7 ao longo do caminho para não trabalhar com números grandes. Faço passo a passo:
4\cdot4=16 \equiv 16-14=2 \pmod{7},
logo os dois primeiros fatores juntos dão 2.
2\cdot5=10 \equiv 10-7=3 \pmod{7},
agora temos 3.
3\cdot6=18 \equiv 18-14=4 \pmod{7},
agora temos 4.
4\cdot5=20 \equiv 20-14=6 \pmod{7}.
Portanto, seguindo as reduções passo a passo, o produto é congruente a \,6\pmod{7}.

Passo 5

Verificação alternativa rápida (opcional, para ganhar confiança): usamos representantes negativos para alguns restos, por exemplo 6\equiv-1\pmod{7} e 5\equiv-2\pmod{7}. Então
4\cdot4\cdot5\cdot6\cdot5 \equiv 4\cdot4\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot(-2).
Calculando sinais e módulos:
(-2)\cdot(-1)\cdot(-2)= -4,
4\cdot4\cdot(-4)=16\cdot(-4)\equiv2\cdot(-4)=-8\equiv -8+14=6\pmod{7},
que confirma o resultado anterior.

Resposta

6

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