Sejam a, b, r inteiros e s um inteiro não nulo. Provar que a \equiv b(\bmod r) se, e somente se, a s \equiv b s(\bmod r s),

Passo 1

O enunciado pede para provar uma equivalência entre duas congruências. Dados:
\;a,b,r\in\mathbb{Z}\; e \;s\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
A afirmação a provar é:
a \equiv b \pmod r \quad\text{se, e somente se,}\quad a s \equiv b s \pmod{r s}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\;a,b,r são inteiros quaisquer; \;s é inteiro não nulo.
Não há outras hipóteses (por exemplo, r pode ser zero também). A tarefa é mostrar as duas implicações da equivalência: a) \;a\equiv b\pmod r\Rightarrow as\equiv bs\pmod{rs} e b) \;as\equiv bs\pmod{rs}\Rightarrow a\equiv b\pmod r.

Passo 2

Lembrando a definição que vamos usar várias vezes:
Dizemos \;x\equiv y\pmod m quando m divide x-y. Ou seja,
x\equiv y\pmod m \quad\Longleftrightarrow\quad m\mid(x-y),
o que significa que existe um inteiro k tal que
x-y = m k.
Também vamos usar a ideia simples de cancelamento em \mathbb{Z}: se \;s\neq0 e \;s u = s v com u,v\in\mathbb{Z}, então u=v. Uma forma de ver isso é subtrair e fatorar: s(u-v)=0; como s\neq0 e \mathbb{Z} não tem divisores de zero, segue u-v=0.

Passo 3

Prova da implicação direta: \;a\equiv b\pmod r \Rightarrow as\equiv bs\pmod{rs}.
Começamos assumindo \;a\equiv b\pmod r. Pela definição de congruência existe k\in\mathbb{Z} tal que
a-b = r k.
Multiplicando ambos os lados por \;s obtemos
s(a-b) = s(r k) = (r s) k.
A última igualdade mostra que \;r s divide s(a-b), ou seja,
r s \mid s(a-b).
Pela definição de congruência, isso é precisamente
a s \equiv b s \pmod{r s}.
Assim a primeira implicação está provada. (Comentário prático: aqui só multiplicamos uma igualdade inteira por s — operação válida mesmo que r=0.)

Passo 4

Prova da implicação inversa: \;a s\equiv b s\pmod{r s} \Rightarrow a\equiv b\pmod r.
Assumimos agora \;a s\equiv b s\pmod{r s}. Pela definição, existe t\in\mathbb{Z} tal que
s(a-b) = r s\, t.
Reescrevemos essa igualdade fatorando s:
s\bigl(a-b - r t\bigr) = 0.
Como no enunciado temos \;s\neq0, podemos aplicar o argumento de cancelamento: a igualdade acima implica que
a-b - r t = 0,
ou seja
a-b = r t.
Isso mostra que r divide a-b, portanto, pela definição,
a \equiv b \pmod r.
Observação sobre o caso r=0: se r=0 então r s=0 e a condição r s\mid s(a-b) é 0\mid s(a-b), o que força s(a-b)=0; como s\neq0 segue a-b=0, ou seja a=b, que é exatamente a\equiv b\pmod0. A prova acima já cobre esse caso graças ao cancelamento por s.

Passo 5

Conclusão: mostramos ambas as implicações, logo as duas afirmações são equivalentes:
a \equiv b \pmod r \quad\Longleftrightarrow\quad a s \equiv b s \pmod{r s}.

Resposta

a \equiv b \pmod r \iff a s \equiv b s \pmod{r s}

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