Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
. Ou seja, encontrar
,
e
.
Informações relevantes dadas / domínio:
Para que a expressão faça sentido real normalmente precisamos que (para não dividir por zero). Além disso, quando usarmos logaritmos na diferenciação vamos supor a região do domínio onde a base
é positiva, ou então trabalhar simbolicamente com logaritmo (considerando valores complexos fora disso). Nas contas aparecerão fatores com
, então também devemos tomar cuidado quando
(esses pontos são singulares para as fórmulas explícitas que encontraremos). Vamos prosseguir supondo que estamos em um ponto do domínio onde todas as expressões que surgirem estão bem definidas.
Para que a expressão faça sentido real normalmente precisamos que
Passo 2
Estratégia de cálculo (explicação didática): é mais prático usar diferenciação logarítmica. A ideia é escrever
como uma exponencial e aplicar a regra da cadeia de forma organizada. Se definimos
então
e, por regra da cadeia,
para
. Isso evita derivar a potência diretamente e transforma o problema em derivar
, que costuma ser mais simples.
Passo 3
Calcular
. Usando logaritmo de fração:
Podemos ainda separar o logaritmo da fração:
Isso facilita porque a derivada de
é simples:
.
Passo 4
Derivada parcial de
em relação a
. Como
e
é tratado como constante quando derivamos em relação a
, temos:
Agora usamos
e
. Portanto
Efetuando a subtração de frações:
Como
, também podemos escrever
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Usando
e lembrando que
, obtemos
Se preferir uma forma equivalente, pode escrever
Passo 6
Derivada parcial de
em relação a
. Repetimos o processo, agora tratando
como constante e diferenciando
em relação a
:
Temos
(por derivação de
em relação a
dar
) e
. Logo
Somando as frações:
Portanto
Passo 7
Aplicar a regra da cadeia para obter
. Usando
, obtemos
Ou de forma equivalente,
Passo 8
Derivada parcial em relação a
. Aqui
e
são constantes;
, então
Usando
obtemos