Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f(x,y,z)=\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)^{z}. Ou seja, encontrar
\dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Informações relevantes dadas / domínio:
\;f(x,y,z)=\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)^{z}.
Para que a expressão faça sentido real normalmente precisamos que x+y\neq 0 (para não dividir por zero). Além disso, quando usarmos logaritmos na diferenciação vamos supor a região do domínio onde a base \dfrac{x-y}{x+y} é positiva, ou então trabalhar simbolicamente com logaritmo (considerando valores complexos fora disso). Nas contas aparecerão fatores com (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}, então também devemos tomar cuidado quando x^{2}=y^{2} (esses pontos são singulares para as fórmulas explícitas que encontraremos). Vamos prosseguir supondo que estamos em um ponto do domínio onde todas as expressões que surgirem estão bem definidas.

Passo 2

Estratégia de cálculo (explicação didática): é mais prático usar diferenciação logarítmica. A ideia é escrever f como uma exponencial e aplicar a regra da cadeia de forma organizada. Se definimos
g(x,y,z)=\ln f(x,y,z),
então f=\mathrm{e}^{g} e, por regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial u}=f\cdot\frac{\partial g}{\partial u}
para u\in\{x,y,z\}. Isso evita derivar a potência diretamente e transforma o problema em derivar g, que costuma ser mais simples.

Passo 3

Calcular g(x,y,z). Usando logaritmo de fração:
g(x,y,z)=\ln\left(\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}\right)=z\ln\!\left(\frac{x-y}{x+y}\right).
Podemos ainda separar o logaritmo da fração:
\ln\!\left(\frac{x-y}{x+y}\right)=\ln(x-y)-\ln(x+y).
Isso facilita porque a derivada de \ln(\cdot) é simples: \dfrac{d}{du}\ln(u)=\dfrac{1}{u}.

Passo 4

Derivada parcial de g em relação a x. Como g=z\big(\ln(x-y)-\ln(x+y)\big) e z é tratado como constante quando derivamos em relação a x, temos:
\frac{\partial g}{\partial x}=z\left(\frac{d}{dx}\ln(x-y)-\frac{d}{dx}\ln(x+y)\right).
Agora usamos \dfrac{d}{dx}\ln(x-y)=\dfrac{1}{x-y} e \dfrac{d}{dx}\ln(x+y)=\dfrac{1}{x+y}. Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}=z\left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right).
Efetuando a subtração de frações:
\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}=\frac{(x+y)-(x-y)}{(x-y)(x+y)}=\frac{2y}{(x-y)(x+y)}.
Como (x-y)(x+y)=x^{2}-y^{2}, também podemos escrever
\frac{\partial g}{\partial x}=z\cdot\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial x}. Usando \dfrac{\partial f}{\partial x}=f\cdot\dfrac{\partial g}{\partial x} e lembrando que f=\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)^{z}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}\cdot z\cdot\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}.
Se preferir uma forma equivalente, pode escrever
\frac{\partial f}{\partial x}=z\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}.

Passo 6

Derivada parcial de g em relação a y. Repetimos o processo, agora tratando z como constante e diferenciando \ln(x-y)-\ln(x+y) em relação a y:
\frac{\partial g}{\partial y}=z\left(\frac{d}{dy}\ln(x-y)-\frac{d}{dy}\ln(x+y)\right).
Temos \dfrac{d}{dy}\ln(x-y)=-\dfrac{1}{x-y} (por derivação de x-y em relação a y dar -1) e \dfrac{d}{dy}\ln(x+y)=\dfrac{1}{x+y}. Logo
\frac{\partial g}{\partial y}=z\left(-\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right).
Somando as frações:
-\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}=-\frac{(x+y)+(x-y)}{(x-y)(x+y)}=-\frac{2x}{(x-y)(x+y)}.
Portanto
\frac{\partial g}{\partial y}= -z\cdot\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}.

Passo 7

Aplicar a regra da cadeia para obter \dfrac{\partial f}{\partial y}. Usando \dfrac{\partial f}{\partial y}=f\cdot\dfrac{\partial g}{\partial y}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial y}=\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}\cdot\left(-z\cdot\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}\right).
Ou de forma equivalente,
\frac{\partial f}{\partial y}=-z\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}.

Passo 8

Derivada parcial em relação a z. Aqui x e y são constantes; g=z\ln\!\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right), então
\frac{\partial g}{\partial z}=\ln\!\left(\frac{x-y}{x+y}\right).
Usando \dfrac{\partial f}{\partial z}=f\cdot\dfrac{\partial g}{\partial z} obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}=\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}\cdot\ln\!\left(\frac{x-y}{x+y}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=z\frac{2y}{x^{2}-y^{2}}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=-z\frac{2x}{x^{2}-y^{2}}\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}\n
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=\left(\frac{x-y}{x+y}\right)^{z}\ln\!\left(\frac{x-y}{x+y}\right)

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