O número de lacunas em algum metal hipotético aumenta por um fator de 5 quando a temperatura aumenta de 1010 K para 1150 K. Calcule a energia (em kJ / mol ) para a formação de vagas supondo que a massa específica do metal permanece a mesma ao longo desse intervalo de temperaturas.

Passo 1

O enunciado nos diz que o número de lacunas em um metal hipotético aumenta por um fator de 5 quando a temperatura passa de 1010 K para 1150 K. O conteúdo da matéria é o modelo de Arrhenius para concentração de vacâncias, que relaciona a fração de vacâncias com a energia de formação Qv. Como a massa específica do metal permanece constante, o número total de sítios atômicos não muda, e podemos usar a razão entre as concentrações de vacâncias em duas temperaturas para encontrar Qv.

Passo 2

Pelo modelo de Arrhenius, a fração de vacâncias n/N em temperatura T satisfaz
nN = exp!l(-QvR,Tr),
onde R é a constante universal dos gases. Então, para duas temperaturas T1 e T2,
n2n1 = exp!l(-QvR,T2r) exp!l(-QvR,T1r) = exp!l(QvRl(tfrac1T1-tfrac1T2r)r)

Passo 3

Sabemos que n2/n1 = 5. Logo,
5 = exp!l(QvRl(tfrac1T1-tfrac1T2r)r)
Fazendo ln de ambos os lados,
ln 5 = QvRl(tfrac1T1-tfrac1T2r)

Passo 4

Isolando Qv,
Qv = R,ln 5 ,l(tfrac1T1-tfrac1T2r)^-1

Passo 5

Substituindo R = 8,314 J/(molcdot K), T1 = 1010 K e T2 = 1150 K,
tfrac1T1-tfrac1T2 = 11010-11150 approx 1,2047times 10^-4 K^-1,
Qv = 8,314 times ln 5 ;l(1,2047times10^-4r)^-1 approx 1,11times10^5 J/mol
Convertendo para kJ/mol, obtemos approx 111 kJ/mol.

Resposta

A energia de formação de vacâncias é aproximadamente 111 kJ/mol.

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