O número \left(\frac{5}{2+i}\right)^{4} tem parte reai negativa.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado pergunta se a parte real do número \left(\frac{5}{2+i}\right)^{4} é negativa.
Informações dadas: o número complexo \frac{5}{2+i} e a operação de elevar esse número à quarta potência.
O que precisamos determinar: o sinal da parte real de \left(\frac{5}{2+i}\right)^{4} (negativa ou não).

Passo 2

Primeiro simplificamos \frac{5}{2+i}. Para dividir por um complexo, usamos o conjugado do denominador. O conjugado de 2+i é 2-i e vale a propriedade
(2+i)(2-i)=2^{2}+1^{2}=4+1=5.
Multiplicando numerador e denominador por 2-i temos
\frac{5}{2+i}=\frac{5(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{5(2-i)}{5}=2-i.
Portanto \frac{5}{2+i}=2-i. (Explicação: multiplicar pelo conjugado transforma o denominador em um número real a^{2}+b^{2}, facilitando a divisão.)

Passo 3

Agora calculamos (2-i)^{4}. É prático fazer isso elevando ao quadrado duas vezes. Primeiro:
(2-i)^{2}=2^{2}-2\cdot2\cdot i + i^{2}=4-4i+i^{2}.
Sabendo que i^{2}=-1, obtemos
(2-i)^{2}=4-4i-1=3-4i.
Agora elevamos novamente ao quadrado:
(3-4i)^{2}=3^{2}-2\cdot3\cdot4i+(4i)^{2}=9-24i+16i^{2}.
Novamente i^{2}=-1, então
(3-4i)^{2}=9-24i+16(-1)=9-24i-16=-7-24i.
Portanto
(2-i)^{4}=-7-24i.

Passo 4

A parte real de \left(\frac{5}{2+i}\right)^{4} é a parte real de (2-i)^{4}, que calculamos como -7-24i. A parte real é -7, que é negativa. Logo a afirmação do enunciado é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro

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