Determine todas as soluções complexas de z^{2}-1=2 i.
Escolha uma opção:
◯ a. \pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ b. \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ c. \pm\left(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ d. \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ e. \pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
Passo 1
O enunciado pede: determinar todas as soluções complexas da equação \,z^{2}-1=2i\,.
Informações dadas: a equação é \,z^{2}=1+2i\,. Precisamos encontrar todos os complexos z que satisfazem essa igualdade (normalmente são duas soluções, opostas entre si, pois estamos tirando uma raiz quadrada).
Passo 2
Vamos representar z em termos das partes real e imaginária, ou seja, tomar
z = x + i y,
onde x e y são números reais que vamos determinar. Essa é uma técnica básica para resolver equações polinomiais em \mathbb{C}: escrever em forma x+iy e comparar parte real e imaginária.
Passo 3
Calculemos (x+iy)^{2}. Usando a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} e i^{2}=-1, temos
(x+iy)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y.
Como queremos (x+iy)^{2}=1+2i, igualamos as partes real e imaginária para obter o sistema