Determine todas as soluções complexas de z^{2}-1=2 i.
Escolha uma opção:
◯ a. \pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ b. \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ c. \pm\left(-\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ d. \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)
◯ e. \pm\left(\sqrt{\frac{1-\sqrt{5}}{2}}-i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar todas as soluções complexas da equação \,z^{2}-1=2i\,.
Informações dadas: a equação é \,z^{2}=1+2i\,. Precisamos encontrar todos os complexos z que satisfazem essa igualdade (normalmente são duas soluções, opostas entre si, pois estamos tirando uma raiz quadrada).

Passo 2

Vamos representar z em termos das partes real e imaginária, ou seja, tomar
z = x + i y,
onde x e y são números reais que vamos determinar. Essa é uma técnica básica para resolver equações polinomiais em \mathbb{C}: escrever em forma x+iy e comparar parte real e imaginária.

Passo 3

Calculemos (x+iy)^{2}. Usando a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} e i^{2}=-1, temos
(x+iy)^{2} = x^{2} - y^{2} + 2 i x y.
Como queremos (x+iy)^{2}=1+2i, igualamos as partes real e imaginária para obter o sistema
\begin{cases} x^{2}-y^{2} = 1,\\[4pt] 2xy = 2. \end{cases}]

Passo 4

Da segunda equação 2xy=2 segue
xy = 1.
Se x=0 isso seria impossível (pois daria 0=1), então x\neq0 e podemos escrever
y = \frac{1}{x}.

Passo 5

Substituímos y=\dfrac{1}{x} na primeira equação x^{2}-y^{2}=1. Isso dá
x^{2}-\frac{1}{x^{2}}=1.
Multiplicando ambos os lados por x^{2} (válido porque x\neq0), obtemos
x^{4}-1 = x^{2}.

Passo 6

Rearranjando, temos um polinômio quadrático em u=x^{2}:
x^{4}-x^{2}-1=0 \quad\Longrightarrow\quad u^{2}-u-1=0,\qquad u=x^{2}.
Resolvendo a quadrática pelo discriminante:
u = \frac{1\pm\sqrt{1+4}}{2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Como u=x^{2} deve ser não negativo, descartamos a raiz negativa \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} (porque \sqrt{5}>1 torna essa expressão negativa). Portanto
u = x^{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
Logo
x = \pm\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.

Passo 8

Usando xy=1, obtemos
y = \frac{1}{x} = \pm\frac{1}{\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}}.
Note que o sinal de y é o mesmo de x (pois xy=1>0). Vamos transformar \dfrac{1}{\sqrt{(1+\sqrt{5})/2}} numa forma mais agradável:
\frac{1}{\left(\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}=\sqrt{\frac{1}{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}}=\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{5}}}.
Racionalizando \dfrac{2}{1+\sqrt{5}}:
\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2( \sqrt{5}-1)}{(1+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}=\frac{2(\sqrt{5}-1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}.
Portanto
y = \pm\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}.

Passo 9

Reunindo x e y (com o mesmo sinal), as soluções são
z = \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}} + i\sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right).
Como verificação rápida: se chamarmos a=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}} e b=\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}}, então
a^{2}-b^{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=1
e
2ab=2\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{1}}=2,
logo (a+ib)^{2}=1+2i, confirmando a solução.

Resposta

d. \pm\left(\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}+i \sqrt{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}\right)

Exercícios relacionados