Essa questão deve ser respondida com um número complexo do tipo a+bi onde a e b são reais. Escreva esse número na caixa.

O conjugado do complexo 4+2 i^{3}+i é:
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pede o conjugado do número complexo 4+2 i^{3}+i.
Dados fornecidos: a expressão complexa 4+2 i^{3}+i.
Pergunta: calcular o conjugado desse número complexo e escrever o resultado na forma a+bi, com a e b reais.

Passo 2

Lembrete didático: se temos um número complexo genérico \;z=a+bi\; (onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária), o conjugado de z é
\overline{z}=a-bi.
Isto significa que mantemos a parte real a e trocamos o sinal da parte imaginária b. Exemplo rápido: o conjugado de \;3+4i\; é \;3-4i\;.

Passo 3

Primeiro precisamos simplificar a expressão original calculando i^{3}. Usamos que \;i^{2}=-1\;, portanto
i^{3}=i^{2}\cdot i = (-1)\cdot i = -i.

Passo 4

Substituindo i^{3}=-i na expressão original:
4+2 i^{3}+i = 4 + 2(-i) + i.
Agora somamos os termos com i:
4 + 2(-i) + i = 4 -2i + i = 4 + (-2+1)i = 4 - i.
Portanto o número complexo dado simplificado é \;4 - i.

Passo 5

Aplicamos a definição do conjugado ao número \;4 - i. Usando \;z=a+bi\; com a=4 e b=-1, temos
\overline{z}=a-bi = 4 - (-1)i = 4 + i.
Ou simplesmente: o conjugado de \;4 - i\; é \;4 + i\;.

Resposta

4+i

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