Número de modos de selecionar
dentre
objetos distintos é
- Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?
Passo 1
O enunciado informa que em um torneio cada participante enfrenta todos os demais exatamente uma vez e que, no total, foram jogadas
partidas. A pergunta é: quantos participantes havia no torneio?
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Número total de partidas:
. - Cada partida corresponde a um confronto entre dois participantes distintos, sem ordem (ou seja, pares não-ordenados).
- Quer-se encontrar
, o número de participantes.
Passo 2
Modelagem combinatória (por que usar combinações): cada partida é determinada por um par de participantes distintos, e a ordem entre eles não importa (A vs B é a mesma partida que B vs A). O número de pares distintos que podem ser formados a partir de
objetos é dado por
. Usando a fórmula das combinações:
Vamos simplificar essa expressão para uma forma mais prática para cálculo.
Passo 3
Simplificação da combinação
: usando propriedades de fatoriais,
Portanto o número de partidas em função de
é
Passo 4
Montar a equação com o dado
: igualando ao total de partidas,
Multiplicando ambos os lados por
,
Expandindo e trazendo tudo para um lado obtém-se a equação quadrática
Passo 5
Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para
, os coeficientes são
,
,
. A fórmula dá
Calcular o discriminante:
Reconhece-se que
. Logo
As duas soluções são
e
. Como
é número de participantes deve ser inteiro positivo, então descartamos
e ficamos com
.
Passo 6
Verificação rápida: calcular
. Confere com o total dado, então a resposta está correta. Parabéns — esse tipo de questão costuma cair bastante e é rápido de resolver na prova quando se lembra que são combinações de 2 em 2 (ou números triangulares).