Número de modos de selecionar \boldsymbol{p} dentre \boldsymbol{n} objetos distintos é
C_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}, 0 \leq p \leq n
  • Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?

Passo 1

O enunciado informa que em um torneio cada participante enfrenta todos os demais exatamente uma vez e que, no total, foram jogadas 780 partidas. A pergunta é: quantos participantes havia no torneio?
Informações relevantes:
  • Número total de partidas: 780.
  • Cada partida corresponde a um confronto entre dois participantes distintos, sem ordem (ou seja, pares não-ordenados).
  • Quer-se encontrar n, o número de participantes.

Passo 2

Modelagem combinatória (por que usar combinações): cada partida é determinada por um par de participantes distintos, e a ordem entre eles não importa (A vs B é a mesma partida que B vs A). O número de pares distintos que podem ser formados a partir de n objetos é dado por \displaystyle C_{n}^{2}. Usando a fórmula das combinações:
C_{n}^{2}=\frac{n!}{2!(n-2)!}.
Vamos simplificar essa expressão para uma forma mais prática para cálculo.

Passo 3

Simplificação da combinação \displaystyle C_{n}^{2}: usando propriedades de fatoriais,
\frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!}{2\cdot (n-2)!}=\frac{n(n-1)}{2}.
Portanto o número de partidas em função de n é
\frac{n(n-1)}{2}.

Passo 4

Montar a equação com o dado 780: igualando ao total de partidas,
\frac{n(n-1)}{2}=780.
Multiplicando ambos os lados por 2,
n(n-1)=1560.
Expandindo e trazendo tudo para um lado obtém-se a equação quadrática
n^{2}-n-1560=0.

Passo 5

Resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Para n^{2}-n-1560=0, os coeficientes são a=1, b=-1, c=-1560. A fórmula dá
n=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1560)}}{2}.
Calcular o discriminante:
(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1560)=1+6240=6241.
Reconhece-se que 6241=79^{2}. Logo
n=\frac{1\pm79}{2}.
As duas soluções são n=\dfrac{1+79}{2}=40 e n=\dfrac{1-79}{2}=-39. Como n é número de participantes deve ser inteiro positivo, então descartamos -39 e ficamos com n=40.

Passo 6

Verificação rápida: calcular \displaystyle C_{40}^{2}=\frac{40\cdot39}{2}=20\cdot39=780. Confere com o total dado, então a resposta está correta. Parabéns — esse tipo de questão costuma cair bastante e é rápido de resolver na prova quando se lembra que são combinações de 2 em 2 (ou números triangulares).

Resposta

40 participantes.

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