• Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO que começam com C ou terminam com A?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO que começam com C ou terminam com A?”
Informações relevantes dadas:
  • A palavra é “CAPÍTULO”. As letras (contando o acento como parte da letra) são: C,\;A,\;P,\;\acute{I},\;T,\;U,\;L,\;O.
  • São 8 letras no total e todas são distintas (não há letras repetidas).
    Portanto precisamos contar todas as permutações das 8 letras que satisfazem a condição "começam com C ou terminam com A".

Passo 2

Conceito útil: quando temos n objetos distintos e queremos ordenar todos eles, o número de ordens possíveis é n! (lê-se "fatorial de n"), que é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui, como há 8 letras distintas, o total de anagramas sem restrição é
8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320.
Isso serve só para referência — a pergunta pede apenas os que satisfazem uma condição.

Passo 3

Contar os anagramas que começam com C.
Raciocínio: se uma palavra deve começar com C, fixamos C na primeira posição. Sobram 7 letras distintas para preencher as 7 posições restantes, e o número de modos de permutar essas 7 letras é 7!. Logo
\text{(começam com \(C\))} = 7! = 5040.ç

Passo 4

Contar os anagramas que terminam com A.
Raciocínio análogo: se a palavra deve terminar com A, fixamos A na última posição. Sobram 7 letras distintas para as demais posições, portanto
\text{(terminam com \(A\))} = 7! = 5040.

Passo 5

Contar os anagramas que começam com C e terminam com A (interseção).
Raciocínio: fixamos C na primeira e A na última posição. Sobram 6 letras distintas para preencher as 6 posições do meio, então
\text{(começam com \(C\) e terminam com \(A\))} = 6! = 720.ç

Passo 6

Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para unir as duas condições "começam com C" ou "terminam com A":
\begin{aligned} \text{(começam com \(C\) ou terminam com \(A\))} &= \text{(começam com \(C\))} + \text{(terminam com \(A\))} \\ &\quad - \text{(começam com \(C\) e terminam com \(A\))}. \end{aligned}ççç
Substituindo os valores que encontramos:
7! + 7! - 6! = 5040 + 5040 - 720 = 9360.

Resposta

9360

Exercícios relacionados