Quantos são os anagramas da palavra “PRÁTICO”?
Quantos deles começam e terminam por consoante?
Quantos deles começam e terminam por consoante?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a palavra “PRÁTICO”:
- Quantos são todos os anagramas possíveis da palavra “PRÁTICO”.
- Quantos desses anagramas começam e terminam por consoante.
Informações dadas e observações imediatas (retiradas do enunciado):
- A palavra é “PRÁTICO”.
- As letras são:
. - Não há letras repetidas (cada símbolo é distinto).
- O número total de letras é
.
Passo 2
Entender como contar todos os anagramas (permutação de todas as letras):
- Quando temos
objetos distintos e queremos ordenar todos, o número de ordenações possíveis é o fatorial de , que escrevemos . - Definição de fatorial:
. Isso conta todas as permutações diferentes das coisas.
Aqui
, logo o número total de anagramas é
.
Calculemos passo a passo:
Calculemos passo a passo:
Fazendo as multiplicações em sequência:
Portanto, o total de anagramas é
.
Passo 3
Agora identificar vogais e consoantes na palavra (isso é necessário para a segunda pergunta):
- Letras:
. - Vogais (na palavra):
. Então o número de vogais é . - Consoantes:
. Então o número de consoantes é .
Observação: o acento em
não muda o fato de que é vogal — ela conta como uma vogal distinta das demais.
Passo 4
Estratégia para contar anagramas que começam e terminam por consoante:
- Pense nas posições: primeiro caractere (posição 1) e último caractere (posição 7) devem ser consoantes.
- Pelo princípio multiplicativo (regra do produto): escolha uma consoante para a primeira posição, depois escolha uma consoante diferente para a última posição, e então permuta-se livremente as letras restantes nas posições do meio.
- Formalizando: se há
consoantes e letras no total, o número desejado é
porque:
opções para o primeiro lugar,
para o último (não pode repetir a escolhida para o primeiro), e os
restantes são permutados livremente.
Passo 5
Aplicando os valores do nosso caso (
,
):
- Número de formas de escolher e ordenar consoantes nas pontas:
. - Número de formas de arranjar as
letras restantes no meio: .
Calcule:
Multiplicando:
Calcule
:
e
, somando dá
.
Portanto, há anagramas que começam e terminam por consoante.
Portanto, há
Passo 6
Checagem rápida de coerência (opcional, para dar confiança):
- A probabilidade de um anagrama aleatório começar e terminar por consoante seria
. - Multiplicando essa fração pelo total de anagramas
dá , que confere com o cálculo anterior.