Quantos são os anagramas da palavra “PRÁTICO”?
Quantos deles começam e terminam por consoante?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a palavra “PRÁTICO”:
  • Quantos são todos os anagramas possíveis da palavra “PRÁTICO”.
  • Quantos desses anagramas começam e terminam por consoante.
Informações dadas e observações imediatas (retiradas do enunciado):
  • A palavra é “PRÁTICO”.
  • As letras são: P,\;R,\;\acute{A},\;T,\;I,\;C,\;O.
  • Não há letras repetidas (cada símbolo é distinto).
  • O número total de letras é 7.

Passo 2

Entender como contar todos os anagramas (permutação de todas as letras):
  • Quando temos n objetos distintos e queremos ordenar todos, o número de ordenações possíveis é o fatorial de n, que escrevemos \,n!.
  • Definição de fatorial: \,n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1. Isso conta todas as permutações diferentes das n coisas.
Aqui n=7, logo o número total de anagramas é \,7!.
Calculemos passo a passo:
7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Fazendo as multiplicações em sequência:
7\cdot6=42,\quad 42\cdot5=210,\quad 210\cdot4=840,
840\cdot3=2520,\quad 2520\cdot2=5040,\quad 5040\cdot1=5040.
Portanto, o total de anagramas é \,5040.

Passo 3

Agora identificar vogais e consoantes na palavra (isso é necessário para a segunda pergunta):
  • Letras: P,\;R,\;\acute{A},\;T,\;I,\;C,\;O.
  • Vogais (na palavra): \acute{A},\;I,\;O. Então o número de vogais é \,3.
  • Consoantes: P,\;R,\;T,\;C. Então o número de consoantes é \,4.
Observação: o acento em \acute{A} não muda o fato de que é vogal — ela conta como uma vogal distinta das demais.

Passo 4

Estratégia para contar anagramas que começam e terminam por consoante:
  • Pense nas posições: primeiro caractere (posição 1) e último caractere (posição 7) devem ser consoantes.
  • Pelo princípio multiplicativo (regra do produto): escolha uma consoante para a primeira posição, depois escolha uma consoante diferente para a última posição, e então permuta-se livremente as letras restantes nas posições do meio.
  • Formalizando: se há c consoantes e n letras no total, o número desejado é
c\cdot (c-1)\cdot (n-2)!,
porque: c opções para o primeiro lugar, c-1 para o último (não pode repetir a escolhida para o primeiro), e os n-2 restantes são permutados livremente.

Passo 5

Aplicando os valores do nosso caso ( c=4, n=7):
  • Número de formas de escolher e ordenar consoantes nas pontas: 4\cdot3=12.
  • Número de formas de arranjar as n-2=5 letras restantes no meio: 5!.
    Calcule 5!:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Multiplicando:
4\cdot3\cdot5! = 12\cdot120.
Calcule 12\cdot120: 12\cdot100=1200 e 12\cdot20=240, somando dá 1440.
Portanto, há \,1440 anagramas que começam e terminam por consoante.

Passo 6

Checagem rápida de coerência (opcional, para dar confiança):
  • A probabilidade de um anagrama aleatório começar e terminar por consoante seria \dfrac{4}{7}\cdot\dfrac{3}{6}=\dfrac{12}{42}=\dfrac{2}{7}.
  • Multiplicando essa fração pelo total de anagramas \,5040 \dfrac{2}{7}\cdot5040=1440, que confere com o cálculo anterior.

Resposta

5040
1440

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