O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:
112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que, em média, ocorrem 2 mortes por afogamento a cada 50 000 habitantes. A gente quer saber qual a probabilidade de ter pelo menos 3 afogamentos numa cidade de 112 500 habitantes.
Conteúdo: probabilidade, distribuição binomial e aproximação pela distribuição de Poisson. Vamos precisar definir a variável aleatória, calcular sua média e usar a fórmula de Poisson.

Passo 2

Definindo a variável aleatória:
X = número de afogamentos em 112 500 habitantes.
Se fosse exato, X ~ Bin(n,p), onde
n = 112500, p = 250000
Mas como n é grande e p é pequeno, a gente usa a aproximação de Poisson:
X sim Poisson(lambda),
com lambda = n,p.

Passo 3

Calculando o parâmetro lambda:
lambda = n,p = 112500 times 250000 = 4,5

Passo 4

Na distribuição de Poisson, a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos é
P(X = k) = e^-lambda,lambda^kk!
Queremos
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - l[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)r]

Passo 5

Calcular cada termo:
P(X=0) = e^-4.54.5^00! = e^-4.5,
P(X=1) = e^-4.54.5^11! = 4.5,e^-4.5,
P(X=2) = e^-4.54.5^22! = 4.5^22,e^-4.5 = 10.125,e^-4.5
Somando:
P(X<3) = e^-4.5l(1 + 4.5 + 10.125r) = 15.625,e^-4.5
Como e^-4.5approx 0.011109,
P(X<3)approx 15.625times0.011109 approx 0.1733
Logo
P(X>=3) = 1 - 0.1733 approx 0.8267

Resposta

A probabilidade de haver pelo menos 3 afogamentos é aproximadamente 0,827 (ou 82,7 %).

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