O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:
200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos?
200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos?
Passo 1
Resumo da questão: temos uma praia onde, em média, acontecem 2 mortes por afogamento a cada 50 000 habitantes. A pergunta é: qual a probabilidade de, num lote de 200 000 habitantes, ocorrer exatamente 5 afogamentos?
Conteúdo: distribuição de Poisson (ou binomial com p muito pequeno), por serem eventos raros e independentes.
O que vamos precisar:
Conteúdo: distribuição de Poisson (ou binomial com p muito pequeno), por serem eventos raros e independentes.
O que vamos precisar:
- Entender quando usar Poisson.
- Calcular o parâmetro médio λ.
- Aplicar a fórmula da Poisson.
Passo 2
Por que Poisson?
Quando temos “n” grande de tentativas (aqui, cada pessoa é uma “tentativa” de sofrer o evento) e probabilidade “p” de ocorrência muito pequena (2/50 000 = 0,00004), podemos aproximar a binomial pela Poisson.
Na Poisson, definimos o parâmetro médio λ = n·p.
Quando temos “n” grande de tentativas (aqui, cada pessoa é uma “tentativa” de sofrer o evento) e probabilidade “p” de ocorrência muito pequena (2/50 000 = 0,00004), podemos aproximar a binomial pela Poisson.
Na Poisson, definimos o parâmetro médio λ = n·p.
Passo 3
Calcular λ:
n = 200 000 habitantes
p = 2 / 50 000 = 0,00004
λ = n · p = 200 000 · 0,00004 = 8
Isso significa que, em média, esperamos 8 afogamentos nesse grupo de 200 000.
n = 200 000 habitantes
p = 2 / 50 000 = 0,00004
λ = n · p = 200 000 · 0,00004 = 8
Isso significa que, em média, esperamos 8 afogamentos nesse grupo de 200 000.
Passo 4
Fórmula da Poisson para X = número de afogamentos:
Queremos k = 5 e λ = 8, então:
Queremos k = 5 e λ = 8, então:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
- 5! = 120
-
-
≈ 0,0003354626
Logo
Então
.
Resposta
A probabilidade de ocorrerem exatamente 5 afogamentos em 200 000 habitantes é aproximadamente