Um número N é da forma
, com
. Quais os menores números naturais que devemos somar e subtrair de N para que os resultados obtidos sejam divisíveis por 6 ?
Passo 1
O enunciado dá a informação e faz uma pergunta clara. Vou listar isso direitinho.
- Informação dada:
é um número da forma , com . - Pergunta: quais são os menores números naturais que devemos somar e subtrair de
para que os resultados obtidos sejam divisíveis por ?
Ou seja, existem dois pedidos separados:
- Encontrar o menor
tal que seja divisível por . - Encontrar o menor
tal que seja divisível por .
Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi pedido e o que foi dado.
Passo 2
Vamos aprender / relembrar um conceito que é perfeito para esse problema: aritmética modular (restos na divisão).
- Dizer que um número
é divisível por significa que deixa resto na divisão por . Em linguagem de congruência escrevemos: . - Se dois números deixam o mesmo resto na divisão por
, escrevemos que são congruentes módulo . Por exemplo, porque deixa resto quando dividido por . - Para resolver se
é divisível por , é suficiente trabalhar com restos: queremos . Isso transforma o problema em uma equação de restos.
Exemplo simples (para fixar): se um número
, então para torná-lo divisível por
devemos somar
(pois
); para torná-lo divisível por
subtraindo, devemos subtrair
(pois
). A ideia é sempre olhar o resto atual e ajustar até zero.
Passo 3
Agora vamos calcular o resto de
na divisão por
. Escrevemos
e analisamos cada termo:
- Primeiro,
. Note que é múltiplo de , porque . Logo todo é múltiplo de , isto é:
Expliquei isso porque todo múltiplo de
tem resto zero.
Passo 4
Agora o termo
. Vamos ver o resto de
ao dividir por
.
- Dividindo
por temos resto , porque . Em símbolos:
Passo 5
Combinando os dois resultados para
:
- Como
e , somando as congruências obtemos
Ou seja: independentemente de
,
deixa resto
quando dividido por
.
Passo 6
Agora resolvemos as duas perguntas usando o resto
.
- Menor
tal que seja divisível por .
- Queremos
. - Substituindo
dá . - Isso significa que
. Como em módulo podemos somar para ficar com resto positivo, (porque ). - Portanto
. O menor com essa congruência é . - Interpretação prática: somando
ao resto obtemos , que tem resto .
Passo 7
- Menor
tal que seja divisível por .
- Queremos
. - Substituindo
dá . - Isso significa
. - O menor
com essa congruência é . - Interpretação prática: subtraindo
do resto obtemos , resto zero, logo divisível por .
Passo 8
Checagem com um exemplo numérico (para me deixar mais confiante e para você ver funcionando):
- Se
então . - Somando
obtemos , que é divisível por . - Subtraindo
obtemos , que é divisível por .
- Somando
Também é útil notar as infinitas soluções: qualquer
da forma
(com
) funciona para somar; qualquer
da forma
funciona para subtrair. Mas os menores não-negativos são
e
.
Resposta
Somar:
Subtrair:
Subtrair: