Um número N é da forma 12 \mathrm{k}+10, com \mathrm{k} \in \mathbb{N}. Quais os menores números naturais que devemos somar e subtrair de N para que os resultados obtidos sejam divisíveis por 6 ?

Passo 1

O enunciado dá a informação e faz uma pergunta clara. Vou listar isso direitinho.
  • Informação dada: N é um número da forma \,12k+10, com k\in\mathbb{N}.
  • Pergunta: quais são os menores números naturais que devemos somar e subtrair de N para que os resultados obtidos sejam divisíveis por 6?
Ou seja, existem dois pedidos separados:
  1. Encontrar o menor a\in\mathbb{N} tal que N+a seja divisível por 6.
  2. Encontrar o menor b\in\mathbb{N} tal que N-b seja divisível por 6.
Não começo a resolver ainda; só organizei o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Vamos aprender / relembrar um conceito que é perfeito para esse problema: aritmética modular (restos na divisão).
  • Dizer que um número x é divisível por 6 significa que x deixa resto 0 na divisão por 6. Em linguagem de congruência escrevemos: x\equiv 0 \pmod{6}.
  • Se dois números deixam o mesmo resto na divisão por 6, escrevemos que são congruentes módulo 6. Por exemplo, 8\equiv 2 \pmod{6} porque 8 deixa resto 2 quando dividido por 6.
  • Para resolver se N+a é divisível por 6, é suficiente trabalhar com restos: queremos N+a\equiv 0 \pmod{6}. Isso transforma o problema em uma equação de restos.
Exemplo simples (para fixar): se um número M\equiv 3 \pmod{6}, então para torná-lo divisível por 6 devemos somar 3 (pois 3+3\equiv 0\pmod{6}); para torná-lo divisível por 6 subtraindo, devemos subtrair 3 (pois 3-3\equiv 0\pmod{6}). A ideia é sempre olhar o resto atual e ajustar até zero.

Passo 3

Agora vamos calcular o resto de N na divisão por 6. Escrevemos N e analisamos cada termo:
N = 12k + 10.
  • Primeiro, 12k. Note que 12 é múltiplo de 6, porque 12=2\cdot6. Logo todo 12k é múltiplo de 6, isto é:
12k \equiv 0 \pmod{6}.
Expliquei isso porque todo múltiplo de 6 tem resto zero.

Passo 4

Agora o termo 10. Vamos ver o resto de 10 ao dividir por 6.
  • Dividindo 10 por 6 temos resto 4, porque 10=1\cdot6+4. Em símbolos:
10 \equiv 4 \pmod{6}.

Passo 5

Combinando os dois resultados para N=12k+10:
  • Como 12k\equiv 0\pmod{6} e 10\equiv 4\pmod{6}, somando as congruências obtemos
N = 12k+10 \equiv 0 + 4 \equiv 4 \pmod{6}.
Ou seja: independentemente de k, N deixa resto 4 quando dividido por 6.

Passo 6

Agora resolvemos as duas perguntas usando o resto 4.
  1. Menor a tal que N+a seja divisível por 6.
  • Queremos N+a\equiv 0 \pmod{6}.
  • Substituindo N\equiv 4\pmod{6} 4+a\equiv 0\pmod{6}.
  • Isso significa que a\equiv -4 \pmod{6}. Como em módulo 6 podemos somar 6 para ficar com resto positivo, -4\equiv 2 \pmod{6} (porque -4+6=2).
  • Portanto a\equiv 2\pmod{6}. O menor a\ge 0 com essa congruência é a=2.
  • Interpretação prática: somando 2 ao resto 4 obtemos 4+2=6, que tem resto 0.

Passo 7

  1. Menor b tal que N-b seja divisível por 6.
  • Queremos N-b\equiv 0\pmod{6}.
  • Substituindo N\equiv 4\pmod{6} 4-b\equiv 0\pmod{6}.
  • Isso significa b\equiv 4\pmod{6}.
  • O menor b\ge 0 com essa congruência é b=4.
  • Interpretação prática: subtraindo 4 do resto 4 obtemos 4-4=0, resto zero, logo divisível por 6.

Passo 8

Checagem com um exemplo numérico (para me deixar mais confiante e para você ver funcionando):
  • Se k=0 então N=12\cdot0+10=10.
    • Somando 2 obtemos 10+2=12, que é divisível por 6.
    • Subtraindo 4 obtemos 10-4=6, que é divisível por 6.
Também é útil notar as infinitas soluções: qualquer a da forma a=2+6m (com m\in\mathbb{N}\cup\{0\}) funciona para somar; qualquer b da forma b=4+6m funciona para subtrair. Mas os menores não-negativos são 2 e 4.

Resposta

Somar: 2
Subtrair: 4

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