Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde h \neq 0 para as funções dadas abaixo:
x^{3}+x^{2}-x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}+x^{2}-x e pede para simplificar a expressão
\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde h \neq 0.
Informações relevantes que temos:
  • A função é f(x)=x^{3}+x^{2}-x.
  • Precisamos calcular f(x+h), subtrair f(x) e dividir por h.
  • Podemos usar a expansão de binômios para (x+h)^{2} e (x+h)^{3}.
  • Como h \neq 0, se conseguirmos fatorar h no numerador podemos simplificar dividindo por h.

Passo 2

Calcular f(x+h). Substituindo x por x+h em f:
f(x+h)=(x+h)^{3}+(x+h)^{2}-(x+h).
Agora expandimos os binômios passo a passo usando a fórmula de binómio:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Substituindo essas expansões em f(x+h):
f(x+h)=\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}\bigr)+\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)-\bigl(x+h\bigr).

Passo 3

Agora escrevemos f(x+h)-f(x). Lembremos que f(x)=x^{3}+x^{2}-x. Portanto:
\begin{aligned} f(x+h)-f(x)=&\; \bigl(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+x^{2}+2xh+h^{2}-x-h\bigr)\\\ &\; -\bigl(x^{3}+x^{2}-x\bigr). \end{aligned}
Agora cancelamos termos iguais do numerador (observe que x^{3}, x^{2} e -x aparecem em ambos):
f(x+h)-f(x)=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}+2xh+h^{2}-h.

Passo 4

Fatoramos h no numerador (é o fator comum em todos os termos):
f(x+h)-f(x)=h\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}+2x+h-1\bigr).
Agora dividimos por h. Como h \neq 0, podemos cancelar h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}+2x+h-1.

Passo 5

Organizando o resultado em potências de h (opcional, útil para ver a forma quando h\to0):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\bigl(3x^{2}+2x-1\bigr)+h\bigl(3x+1\bigr)+h^{2}.
Essa é uma forma equivalente, que mostra claramente o termo independente de h e os termos que desaparecem quando h\to0.

Resposta

3x^{2}+3xh+h^{2}+2x+h-1

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