Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde h \neq 0 para as funções dadas abaixo:
\frac{1}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a razão incremental
\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
para a função f(x)=\dfrac{1}{x+2}, com h\neq0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • f(x)=\dfrac{1}{x+2}.
  • h\neq0.
  • Para a expressão fazer sentido, também é necessário que x\neq -2 (pois x+2\neq0) e x\neq -h-2 (pois x+h+2\neq0).

Passo 2

Primeiro calcule f(x+h) fazendo a substituição x\mapsto x+h em f:
f(x+h)=\frac{1}{x+h+2}.
Isto é só trocar x por x+h no denominador.

Passo 3

Agora escrevemos explicitamente a razão incremental usando f(x+h) e f(x):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{1}{x+h+2}-\dfrac{1}{x+2}}{h}.
É a diferença de duas frações no numerador, tudo dividido por h.

Passo 4

Para simplificar a diferença de frações no numerador, vamos colocar no mesmo denominador. A regra é
\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}.
Aplicando com a=1,\;b=x+h+2,\;c=1,\;d=x+2, obtemos:
\frac{1}{x+h+2}-\frac{1}{x+2}=\frac{(x+2)-(x+h+2)}{(x+h+2)(x+2)}.

Passo 5

Simplifique o numerador da fração:
(x+2)-(x+h+2)=x+2-x-h-2=-h.
Portanto
\frac{1}{x+h+2}-\frac{1}{x+2}=\frac{-h}{(x+h+2)(x+2)}.

Passo 6

Volte à razão incremental substituindo o numerador simplificado:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\dfrac{-h}{(x+h+2)(x+2)}}{h}.
Dividir por h é multiplicar por \dfrac{1}{h}, então
\frac{\dfrac{-h}{(x+h+2)(x+2)}}{h}=\frac{-h}{(x+h+2)(x+2)}\cdot\frac{1}{h}=\frac{-h}{h\,(x+h+2)(x+2)}.

Passo 7

Como foi dado que h\neq0, podemos cancelar h no numerador e no denominador. Após o cancelamento fica:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-\frac{1}{(x+h+2)(x+2)}.
Esta é a forma simplificada. Lembrando das condições de existência: h\neq0, x\neq -2 e x\neq -h-2.

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{(x+2)(x+h+2)}

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