Um n’umero real x satisfaz |x+4|<3. Mostre que
\left|x^{2}+11 \cdot x+27\right|<19

Passo 1

O enunciado dá uma condição sobre x:
|x+4|<3,
e pede para mostrar que
\bigl|x^{2}+11x+27\bigr|<19.
Aqui aplicaremos técnicas de desigualdade envolvendo valor absoluto e reescreveremos o polinômio de forma conveniente.

Passo 2

Reescrevemos o polinômio de modo a isolar um produto que contém x+4. Observe que
(x+4)(x+7)=x^{2}+11x+28,
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x^{2}+11x+27=(x+4)(x+7)-1.

Passo 3

Aplicamos a desigualdade triangular no valor absoluto:
\bigl|x^{2}+11x+27\bigr| =\bigl|(x+4)(x+7)-1\bigr| \le |x+4|\;\bigl|x+7\bigr| + 1.

Passo 4

Usamos a hipótese \bigl|x+4\bigr|<3 e estimamos \bigl|x+7\bigr| via
|x+7| = \bigl|(x+4)+3\bigr| \le |x+4| + 3 < 3 + 3 = 6.
Assim
|x+4|\;\bigl|x+7\bigr| < 3 \times 6 = 18.

Passo 5

Substituindo na desigualdade do Passo 3 temos
\bigl|x^{2}+11x+27\bigr| < 18 + 1 = 19,
que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

\displaystyle \bigl|x^{2}+11x+27\bigr|<19.

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