Sejam x, y \in \mathbb{R}, mostre que
\|x|-|y| \| \leq|x-y|

Passo 1

O enunciado nos pede para provar que, para quaisquer x,y\in\mathbb{R}, vale
\bigl|\lvert x\rvert - \lvert y\rvert\bigr| \le \lvert x - y\rvert.
O conteúdo central aqui é o valor absoluto e, em especial, a desigualdade triangular, que diz que para quaisquer a,b\in\mathbb{R}
\lvert a + b\rvert \le \lvert a\rvert + \lvert b\rvert.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular a
\lvert x\rvert = \lvert (x - y) + y\rvert.
Isso dá
\lvert x\rvert \le \lvert x - y\rvert + \lvert y\rvert,
e, subtraindo \lvert y\rvert de ambos os lados, obtemos
\lvert x\rvert - \lvert y\rvert \le \lvert x - y\rvert.

Passo 3

Fazendo exatamente o mesmo raciocínio trocando x por y e y por x, temos
\lvert y\rvert = \lvert (y - x) + x\rvert \le \lvert y - x\rvert + \lvert x\rvert,
isto é,
\lvert y\rvert - \lvert x\rvert \le \lvert y - x\rvert = \lvert x - y\rvert.

Passo 4

As duas desigualdades juntas dizem que
\lvert x\rvert - \lvert y\rvert \le \lvert x - y\rvert \quad\text{e}\quad \lvert y\rvert - \lvert x\rvert \le \lvert x - y\rvert.
Por definição de valor absoluto, isso equivale a
\bigl|\lvert x\rvert - \lvert y\rvert\bigr| \le \lvert x - y\rvert,
que é justamente o que queríamos mostrar.

Resposta

\bigl|\lvert x\rvert - \lvert y\rvert\bigr| \le \lvert x - y\rvert.

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