Seja x \mapsto f(x) uma função da variável real x. Intuitivamente, esta função admite um limite real em um ponto x_{0} de D_{f} se, quando x se aproxima tão perto quanto possível de x_{0} (mas sem atingí-lo), f(x) se aproxima de \ell e se pode tornar f(x) tão próximo quanto se queira de \ell com a única condição de aproximar x de x_{0}. Se além disso \ell=f\left(x_{0}\right), diz-se que f é contínua em x_{0}. Matematicamente, a continuidade em x_{0} se traduz por:
\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x \in D_{f},\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow\left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon .
Negar esta proposição, que significará dizer que f é descontínua em x_{0}.
Lembre-se que de justificar todos os passos.

Passo 1

O enunciado define que f é contínua em x_{0} se vale a proposição
P:\quad \forall \varepsilon>0,\;\exists \delta>0,\;\forall x\in D_{f},\; \bigl|x - x_{0}\bigr|<\delta\;\Longrightarrow\;\bigl|f(x)-f(x_{0})\bigr|<\varepsilon.
Aqui o conteúdo é a lógica de predicados com quantificadores e implicação.

Passo 2

Para afirmar que f é descontínua em x_{0} precisamos negar P. Ou seja, a definição de descontinuidade em x_{0} é \neg P.

Passo 3

Negamos P trocando cada quantificador e levando a negação para dentro:
\neg\bigl[\forall \varepsilon>0,\;\exists \delta>0,\;\forall x\in D_{f},\; A(x,\delta,\varepsilon)\bigr] \;\equiv\; \exists \varepsilon>0,\;\forall \delta>0,\;\exists x\in D_{f},\;\neg A(x,\delta,\varepsilon),
onde
A(x,\delta,\varepsilon)\;:\;\bigl|x - x_{0}\bigr|<\delta\;\Longrightarrow\;\bigl|f(x)-f(x_{0})\bigr|<\varepsilon.
Aqui usamos que \neg\forall = \exists\neg e \neg\exists = \forall\neg.

Passo 4

Agora negamos a implicação \neg(A\!\Rightarrow\!B)\equiv A\wedge\neg B. Tomando
A:\;\bigl|x - x_{0}\bigr|<\delta, \qquad B:\;\bigl|f(x)-f(x_{0})\bigr|<\varepsilon,
obtemos
\neg A(x,\delta,\varepsilon) \;\equiv\; \bigl|x - x_{0}\bigr|<\delta \quad\wedge\quad \bigl|f(x)-f(x_{0})\bigr|\ge\varepsilon.

Resposta

A negação da definição de continuidade, isto é, a condição de descontinuidade de f em x_{0}, é:
\exists \varepsilon>0,\;\forall \delta>0,\;\exists x\in D_{f}\quad \bigl|x - x_{0}\bigr|<\delta \;\wedge\; \bigl|f(x)-f(x_{0})\bigr|\ge\varepsilon.

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