Um número de três algarismos é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele ser formado por algarismos distintos?
Passo 1
O enunciado: “Um número de três algarismos é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele ser formado por algarismos distintos?”\n
Informações dadas e o que é pedido:
Informações dadas e o que é pedido:
- Um número de três algarismos significa um número inteiro entre
e inclusive. - Cada algarismo é um dígito entre
e , mas o primeiro algarismo (centenas) não pode ser . - A pergunta pede a probabilidade de o número sorteado ter os três algarismos todos diferentes (ou seja, nenhum algarismo repetido).
Passo 2
Contar o número total de resultados possíveis (espaço amostral).\n
Explicação do raciocínio: para formar um número de três algarismos escolhemos o algarismo das centenas, depois das dezenas e depois das unidades. Usamos a regra do produto: se temos maneiras de escolher a primeira coisa e, para cada escolha,
maneiras de escolher a segunda, então são
maneiras no total; extendendo para três escolhas multiplicamos as três quantidades.\n
Aplicando: o algarismo das centenas pode ser , ou seja
opções; o algarismo das dezenas pode ser qualquer um de
, ou seja
opções; o algarismo das unidades também tem
opções. Pelo princípio multiplicativo o total de números de três algarismos é
Explicação do raciocínio: para formar um número de três algarismos escolhemos o algarismo das centenas, depois das dezenas e depois das unidades. Usamos a regra do produto: se temos
Aplicando: o algarismo das centenas pode ser
Passo 3
Contar quantos desses números têm os três algarismos distintos (casos favoráveis).\n
Raciocínio passo a passo:
Raciocínio passo a passo:
- Escolha do algarismo das centenas: pode ser qualquer um de
, então há opções. - Depois, para o algarismo das dezenas: pode ser qualquer dígito de
exceto o que já foi usado nas centenas. Como havia dígitos possíveis e um deles está bloqueado, restam opções para as dezenas. - Finalmente, para o algarismo das unidades: deve ser diferente dos dois já escolhidos; desses
dígitos iniciais dois estão bloqueados, restando opções.
Pelo princípio multiplicativo o número de números com algarismos todos distintos é
Passo 4
Calcular a probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais.\n
A probabilidade pedida é
A probabilidade pedida é
Agora simplificamos a fração passo a passo para ficar mais apresentável: dividir numerador e denominador por
dá
Dividindo por
obtemos
Converter para decimal (usando vírgula, conforme convenção brasileira):
Passo 5
Interpretação final e dica prática para a prova:\n
- A probabilidade é relativamente alta:
significa que dos números de três algarismos têm algarismos todos distintos. - Dica rápida para problemas similares: conte primeiro o total de possibilidades obedecendo restrições (aqui centenas não podem ser zero) e depois conte favoráveis aplicando a regra do produto, lembrando de excluir os dígitos já usados quando a condição pedir “distintos”.