Um número de três algarismos é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele ser formado por algarismos distintos?

Passo 1

O enunciado: “Um número de três algarismos é escolhido ao acaso. Qual é a probabilidade de ele ser formado por algarismos distintos?”\n
Informações dadas e o que é pedido:
  • Um número de três algarismos significa um número inteiro entre 100 e 999 inclusive.
  • Cada algarismo é um dígito entre 0 e 9, mas o primeiro algarismo (centenas) não pode ser 0.
  • A pergunta pede a probabilidade de o número sorteado ter os três algarismos todos diferentes (ou seja, nenhum algarismo repetido).

Passo 2

Contar o número total de resultados possíveis (espaço amostral).\n
Explicação do raciocínio: para formar um número de três algarismos escolhemos o algarismo das centenas, depois das dezenas e depois das unidades. Usamos a regra do produto: se temos a maneiras de escolher a primeira coisa e, para cada escolha, b maneiras de escolher a segunda, então são a\cdot b maneiras no total; extendendo para três escolhas multiplicamos as três quantidades.\n
Aplicando: o algarismo das centenas pode ser \{1,2,\dots,9\}, ou seja 9 opções; o algarismo das dezenas pode ser qualquer um de \{0,1,\dots,9\}, ou seja 10 opções; o algarismo das unidades também tem 10 opções. Pelo princípio multiplicativo o total de números de três algarismos é
9\cdot 10\cdot 10 = 900.

Passo 3

Contar quantos desses números têm os três algarismos distintos (casos favoráveis).\n
Raciocínio passo a passo:
  • Escolha do algarismo das centenas: pode ser qualquer um de \{1,2,\dots,9\}, então há 9 opções.
  • Depois, para o algarismo das dezenas: pode ser qualquer dígito de \{0,1,\dots,9\} exceto o que já foi usado nas centenas. Como havia 10 dígitos possíveis e um deles está bloqueado, restam 9 opções para as dezenas.
  • Finalmente, para o algarismo das unidades: deve ser diferente dos dois já escolhidos; desses 10 dígitos iniciais dois estão bloqueados, restando 8 opções.
    Pelo princípio multiplicativo o número de números com algarismos todos distintos é
9\cdot 9\cdot 8 = 648.

Passo 4

Calcular a probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais.\n
A probabilidade pedida é
\frac{648}{900}.
Agora simplificamos a fração passo a passo para ficar mais apresentável: dividir numerador e denominador por 9
\frac{648}{900}=\frac{72}{100}.
Dividindo por 4 obtemos
\frac{72}{100}=\frac{18}{25}.
Converter para decimal (usando vírgula, conforme convenção brasileira):
\frac{18}{25}=0,72.

Passo 5

Interpretação final e dica prática para a prova:\n
  • A probabilidade é relativamente alta: 0,72 significa que 72\% dos números de três algarismos têm algarismos todos distintos.
  • Dica rápida para problemas similares: conte primeiro o total de possibilidades obedecendo restrições (aqui centenas não podem ser zero) e depois conte favoráveis aplicando a regra do produto, lembrando de excluir os dígitos já usados quando a condição pedir “distintos”.

Resposta

\dfrac{18}{25}=0,72

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