Números Complexos:
a) Defina o número complexo z \_1=3+4 i.
b) Defina o número complexo z \_2=1-2 \mathrm{i}.
c) Calcule a soma de z \_1 e z \_2.
d) Calcule o produto de z_1 e z_2.
e) Calcule o módulo (magnitude) de z \_1.
f) Calcule o conjugado de z \_2.

Passo 1

O enunciado trabalha com números complexos e pede para definirmos dois deles z_1 e z_2 e calcular soma, produto, módulo e conjugado. O conteúdo necessário é: definição de número complexo, soma de complexos, produto usando distributiva e i^2=-1, cálculo de módulo via \sqrt{a^2+b^2} e conjugado trocando o sinal da parte imaginária.

Passo 2

Definimos simplesmente os complexos conforme dado: z_1 = 3 + 4\,i z_2 = 1 - 2\,i

Passo 3

Para somar z_1 e z_2, somamos separadamente as partes reais e as partes imaginárias:
z_1 + z_2 = (3 + 1) + (4\,i + (-2\,i)) = 4 + 2\,i.

Passo 4

Para o produto usamos a distributiva:
z_1 \cdot z_2 = (3 + 4\,i)\,(1 - 2\,i) =3\cdot1 + 3\cdot(-2\,i) + 4\,i\cdot1 + 4\,i\cdot(-2\,i).
Como i^2=-1, temos
=3 -6\,i +4\,i -8\,i^2 =3 -2\,i -8(-1) =3 -2\,i +8 =11 -2\,i.

Passo 5

O módulo de z_1=3+4\,i é dado por
|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.

Passo 6

O conjugado de z_2=1-2\,i troca o sinal da parte imaginária, ficando
\overline{z_2} = 1 + 2\,i.

Resposta

a) z_1 = 3 + 4\,i
b) z_2 = 1 - 2\,i
c) z_1 + z_2 = 4 + 2\,i
d) z_1 \cdot z_2 = 11 - 2\,i
e) |z_1| = 5
f) \overline{z_2} = 1 + 2\,i

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