Os números complexos z_{1}=x+y i, z_{2}=y+x i, z_{3}=x i e z_{4}=y i, com x e y não nulos, são tais que o argumento de z=6 \overline{z_{1}}-i z_{1} \overline{z_{1}}+z_{1} z_{2}+\left(z_{3}\right)^{2}-i\left(z_{4}\right)^{2}-14 é igual a 5 \pi / 4. Determine o valor de x+y sabendo que z_{1} possui maior módulo possivel e assinale a opção correta.
(A) 3+\sqrt{2}
(B) 3-\sqrt{2}
(C) 2(3-\sqrt{2})
(D) 2(3+\sqrt{2})
(E) \sqrt{2}(3+\sqrt{2})
Passo 1
Resumindo, temos \displaystyle z_{1}=x+yi,\;z_{2}=y+xi,\;z_{3}=xi,\;z_{4}=yi
e definimos
Z \;=\;6\,\overline{z_{1}}\;-\;i\,z_{1}\,\overline{z_{1}}\;+\;z_{1}\,z_{2}\;+\;(z_{3})^{2}\;-\;i\,(z_{4})^{2}\;-\;14.
O enunciado pede para achar x+y de modo que \arg(Z)=5\pi/4 e |z_{1}| seja máximo.
Passo 2
Vamos escrever Z em função de x,y. \overline{z_{1}}=x-yi, logo
6\,\overline{z_{1}}=6x-6y\,i.
Temos \!z_{1}\,\overline{z_{1}}=x^{2}+y^{2}, então
-i\,z_{1}\,\overline{z_{1}}=-(x^{2}+y^{2})\,i.
A seguir
z_{1}\,z_{2}=(x+yi)(y+xi)=i\,(x^{2}+y^{2}),
(z_{3})^{2}=(xi)^{2}=-x^{2},
-i\,(z_{4})^{2}=-i\,(yi)^{2}=i\,y^{2}.
Somando tudo e agrupando parte real e imaginária, obtemos
Z=(6x - x^{2}-14)\;+\;i\,(y^{2}-6y).
Passo 3
Para \arg(Z)=5\pi/4 (terceiro quadrante, tangente =1), é necessário que
Além disso, \Im(Z)=y^{2}-6y<0 implica 0<y<6. A condição \Re(Z)<0 vale sempre aqui pois x^{2}-6x+14>0 para todo x.
Passo 5
Queremos maximizar \lvert z_{1}\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sujeita à restrição (x-3)^{2}+(y-3)^{2}=4. Geometricamente, o ponto do círculo mais distante da origem está na direção do centro (3,3). O vetor unitário é \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr),
logo o ponto é