Os números complexos z_{1}=x+y i, z_{2}=y+x i, z_{3}=x i e z_{4}=y i, com x e y não nulos, são tais que o argumento de z=6 \overline{z_{1}}-i z_{1} \overline{z_{1}}+z_{1} z_{2}+\left(z_{3}\right)^{2}-i\left(z_{4}\right)^{2}-14 é igual a 5 \pi / 4. Determine o valor de x+y sabendo que z_{1} possui maior módulo possivel e assinale a opção correta.
(A) 3+\sqrt{2}
(B) 3-\sqrt{2}
(C) 2(3-\sqrt{2})
(D) 2(3+\sqrt{2})
(E) \sqrt{2}(3+\sqrt{2})

Passo 1

Resumindo, temos \displaystyle z_{1}=x+yi,\;z_{2}=y+xi,\;z_{3}=xi,\;z_{4}=yi
e definimos
Z \;=\;6\,\overline{z_{1}}\;-\;i\,z_{1}\,\overline{z_{1}}\;+\;z_{1}\,z_{2}\;+\;(z_{3})^{2}\;-\;i\,(z_{4})^{2}\;-\;14.
O enunciado pede para achar x+y de modo que \arg(Z)=5\pi/4 e |z_{1}| seja máximo.

Passo 2

Vamos escrever Z em função de x,y. \overline{z_{1}}=x-yi, logo
6\,\overline{z_{1}}=6x-6y\,i.
Temos \!z_{1}\,\overline{z_{1}}=x^{2}+y^{2}, então
-i\,z_{1}\,\overline{z_{1}}=-(x^{2}+y^{2})\,i.
A seguir
z_{1}\,z_{2}=(x+yi)(y+xi)=i\,(x^{2}+y^{2}),
(z_{3})^{2}=(xi)^{2}=-x^{2},
-i\,(z_{4})^{2}=-i\,(yi)^{2}=i\,y^{2}.
Somando tudo e agrupando parte real e imaginária, obtemos
Z=(6x - x^{2}-14)\;+\;i\,(y^{2}-6y).

Passo 3

Para \arg(Z)=5\pi/4 (terceiro quadrante, tangente =1), é necessário que
\frac{\Im(Z)}{\Re(Z)}=1, \quad \Re(Z)<0, \quad \Im(Z)<0.
A razão dá
\frac{y^{2}-6y}{6x - x^{2}-14}=1 \;\Longrightarrow\; y^{2}-6y=6x - x^{2}-14,
ou seja
x^{2}+y^{2}-6x-6y+14=0.

Passo 4

Completa-se o quadrado:
(x-3)^{2}+(y-3)^{2}=4.
Além disso, \Im(Z)=y^{2}-6y<0 implica 0<y<6. A condição \Re(Z)<0 vale sempre aqui pois x^{2}-6x+14>0 para todo x.

Passo 5

Queremos maximizar \lvert z_{1}\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}} sujeita à restrição (x-3)^{2}+(y-3)^{2}=4. Geometricamente, o ponto do círculo mais distante da origem está na direção do centro (3,3). O vetor unitário é \bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr),
logo o ponto é
(x,y)=\bigl(3,3\bigr)+2\cdot\bigl(\tfrac1{\sqrt2},\tfrac1{\sqrt2}\bigr) =\bigl(3+\sqrt2,\;3+\sqrt2\bigr).

Passo 6

Assim
x+y=(3+\sqrt2)+(3+\sqrt2)=6+2\sqrt2 =2\,(3+\sqrt2).
A alternativa correta é a letra (D).

Resposta

(D) 2(3+\sqrt2)

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